Topologia, zadanie nr 5346

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dyrand postów: 4	2017-02-17 15:17:36 Treść zadania: Niech $A_1, A_2, ...$ - domknięte i brzegowe podzbiory płaszczyzny euklidesowej $\mathbb{R}^2$, a $L_1, L_2, ...$ - proste na $\mathbb{R}^2$. Pokazać, żę istnieje punkt $x \in \mathbb{R}^2 - A$ (- to różnica zbiorów) gdzie $A = \bigcup_{i=1}^n A_i$ taki, że odległość (w metr. euklideoswej) x od każdej prostej $L_i$ jest liczbą niewymierną. (odległość punktu od zbioru to inf. odległości tego punktu od punktów ze zbioru) Wymyśliłem jakieś rozwiązanie (poniżej), ale wydaje mi się ono bardzo mało ścisłe, więc jeśli są w nim jakiekolwiek błędy to proszę o ich wskazanie. No więc widać, że jest to zadanie na tw. Baire'a, trzeba tylko ułożyć jakieś zbiory domknięte i brzegowe. $(\mathbb{R}^2, d_e)$ jest zupełna. Określmy "złe punkty" jako te, które spełniają jeden z poniższych warunków: (1) $ x\in A_i$ dla jakiegoś i, (2) lub istnieje takie i, że $d(x, L_i)$ jest wymierna. Zbiory złych punktów typu (1) są domknięte i brzegowe z założenia, jeśli chodzi o typ (2) to ustalmy $Z_{q,i} = \{x\in X: d(L_i, x) = q\}$. Głównie chodzi o dokładne uzasadnienie tej cześci: [i]Zbiory $Z_{q,i}$ są domknięte i brzegowe, gdyż każdy taki zbiór jest sumą dwóch prostych (odległych) od $L_i$ o $q$, a one są domknięte (suma skończenie wielu domkniętych jest domknięta) oraz brzegowe, no bo mają puste wnętrze np. dlatego, że są wykresem jakieś funkcji.[/i] Łącząc wszystko: Niech $Z = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \cup \bigcup_{i=1}^{\infty} \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} Z_{q,i} $, Z jest więc przeliczalną sumą zbiorów domkniętych i brzegowych, więc (Tw. Baire'a) jest zbiorem brzegowym, więc $ Z $ jest różne od $\mathbb{R}^2$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj