Probabilistyka, zadanie nr 5372

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
brightnesss postów: 113	2017-03-11 17:27:07 10% powierzchni sfery pomalowane na niebiesko, a resztę na czerwono. Pokazać, że niezależnie od sposobu w jaki kolory są rozłożone na sferze, można wpisać w te sferę sześcian tak, że wszystkie jego wierzchołki są czerwone.

tumor postów: 8070	2017-03-11 22:19:29 Intuicyjnie, jeśli byśmy mieli wszystkie możliwe sześciany, w których co najmniej 1 wierzchołek jest niebieski, to 1/8 wszystkich wierzchołków (lub więcej) byłaby w niebieskim kolorze, a to przecież więcej niż 10%. Zapis formalny będzie nieco bardziej skomplikowany z uwagi na kłopoty z niemierzalnością niektórych zbiorów. Jeśli przyjmujemy miarę Lebesgue'a (albo inną zgodną z objętością i niezmienniczą ze względu na przesunięcia), to możemy uznawać, że gdy rozważamy wszelkie możliwe sześciany i zakładamy, że jeden wierzchołek mają niebieski, to ten niebieski wypada w pewnej z góry zadanej 1/8 sfery. Nie przejmując się, co się dzieje na reszcie sfery pokazujemy, że część niebieska zawiera w sobie na pewno zbiór mierzalny o mierze większej niż 10% miary sfery.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj