Inne, zadanie nr 539

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
aaakuuus02 postów: 19	2012-10-13 23:41:16 Określić, które z poniższych funkcji są okresowe i wyznaczyć ich okres : 1) f(x)= 5cos7x 2) f(x)= $cos^{2}$ 2x 3) f(x)= sin $ x^{2}$ 4) f(x)= cos x + sin ($\sqrt{3}$x)

tumor postów: 8070	2012-10-14 08:29:18 1) $cos x$ jest okresowa o okresie podstawowym $2\pi$ $5 cos x$ rozciąga funkcję w pionie, czyli wciąż okresowa i wciąż $2\pi$ $5 cos 7x$ zwęża funkcję w poziomie, czyli okres zmaleje siedem razy $T=\frac{2}{7}\pi$ Można sprawdzić $5 cos 7(x+\frac{2}{7}\pi)=5(cos7x cos2\pi-sin7x sin2\pi)=5cos7x$

tumor postów: 8070	2012-10-14 08:56:33 2) kwadrat funkcji okresowej na pewno będzie okresowy, tylko okres się nam może zmniejszyć. Zauważmy, że $cos4x$ jest okresowa o okresie $\frac{\pi}{2}$ $cos4x=2cos^22x-1$ Przesunięcie $-1$ nie zmienia okresowości, pomnożenie całości przez niezerową stałą nie zmienia okresowości, zatem okres podstawowy $\frac{\pi}{2}$ $cos^22(x+\frac{\pi}{2})=cos^2(2x+\pi)=(cos2xcos\pi+sin2xsin\pi)^2=(-cos2x)^2=cos^22x$

tumor postów: 8070	2012-10-14 09:06:27 3) $f(x)=sinx^2$ Nie jest okresowa. Żeby to sprawdzić pokażemy sobie, że miejsca zerowe ma nieokresowo. sin $x$ ma miejsca zerowe $x=k\pi, k\in Z$ sin $x^2$ ma miejsca zerowe $x^2=k\pi, k\in Z$, czyli $x=\pm \sqrt{n\pi}, n\in N$. Funkcja $\sqrt{n}$ jest rosnąca i wklęsła, czyli w miarę oddalania się od $0$ miejsca zerowe $f(x)$ są coraz gęściej, nieokresowo.

aaakuuus02 postów: 19	2012-10-14 13:00:16 dziękuje :) a mogłabym prosić o przykład 4 ?

tumor postów: 8070	2014-07-21 10:30:47 4) $f(x)= cosx+sin (\sqrt{3}x)$ Załóżmy, że $f$ jest okresowa o okresie $T$. Wówczas, skoro $f$ jest różniczkowalna w $R$, to $f`$ również byłaby okresowa o okresie $T$. Podobnie z dalszymi pochodnymi. Policzymy sobie $g(x)=f^{(4)}(x)=cosx+9sin(\sqrt{3}x)$ różnica tych dwóch funkcji to $h(x)=g(x)-f(x)=8sin(\sqrt{3}x)$ funkcja $h$ oczywiście jest okresowa o okresie podstawowym $\frac{2\pi}{\sqrt{3}}$, ale jako różnica funkcji okresowych o okresie $T$ sama też musi być okresowa o okresie $T$. Stąd $T$ byłby postaci $T=\frac{2k\pi}{\sqrt{3}}$ dla pewnego $k$ naturalnego dodatniego. Takie $T$ jest okresem funkcji $sin(\sqrt{3}x)$, założyliśmy ponadto, że jest to okres funkcji $f$, czyli powinien to być także okres funkcji $f(x)-sin(\sqrt{3}x)=cosx$, natomiast dla żadnego $k$ naturalnego dodatniego liczba $T=\frac{2k\pi}{\sqrt{3}}$ nie jest okresem funkcji $cosx$. Ta sprzeczność wynika z faktu, że błędne musiało być nasze początkowe założenie. Czyli $f$ nie ma okresu $T$. A że $T$ wybraliśmy dowolnie, to $f$ nie jest okresowa.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj