Algebra, zadanie nr 5559

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pifer postów: 1	2017-10-01 13:43:47 Witam wszystkich. Mam problem z następującymi zadaniami: 1. Udowodnić, że dla dowolnych $x_{i}$ nieujemnych oraz n naturalnego prawdziwa jest nierówność: $n\cdot\prod_{i=1}^{n}x_{i}\le\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{n}$ 2. Wyprowadzić z poniższego równania wartość $\beta$ ($x_{i}$ nieujemne, n naturalne): $sign(1-\beta)\cdot[\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_{i}}{\sum_{j}{x_{j}}})^{1-\beta}]^{\frac{1}{\beta}}=\frac{n\cdot\prod_{i=1}^{n}x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{n}}$ Innymi słowy: dla jakiej wartości $\beta$ powyższe równanie jest prawdziwe? 3. Niech x będzie n-elementowym wektorem liczb nieujemnych $x_{1},x_{2},...,x_{n}$. Udowodnić prawdziwość (bądź nieprawdziwość) poniższego twierdzenia: Niech $x=[x^1,x^2$] oraz $y=[y^1,y^2]$ spełniające warunek $\sum_{j}{x_{j}^{i}}=\sum_{j}{y_{j}^{i}}$ dla i=1,2. Istnieje funkcja średniej h taka, że $\frac{f(x)}{f(y)}=h(\frac{f(x^1)}{f(y^1)},\frac{f(x^2)}{f(y^2)})$ gdzie $f(x)= \frac{n\cdot\prod_{i=1}^{n}x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{n}}$ $h=g^{-1}(\sum_{i=1}^{2}s_{i}\cdot g(\frac{f(x^i)}{f(y^i)}))$ Funkcja g z powyższej zależności jest nazywana średnią Kołmogorowa-Nagumo i może być tylko potęgowa $(g(y)=y^{\beta)}$ lub logarytmiczna (g(y)=log y), natomiast $s_i$ to dodatnie wagi spełniające warunek $\sum_{i}{s_i} = 1$. Proszę o uzasadnienie toku rozumowania. Z góry dziękuję za pomoc.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj