logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 5572

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 865
2017-10-17 10:39:59

Niech $(G,\cdot)$ bedzie grupa i $A\subset G$. Sprawdzic, czy podzbior $A$ jest zamkniety na dzialanie $\cdot$. Jesli tak, to sprawdzic czy $A$ jest podgrupa grupy $(G,\cdot)$.

$G=(Z_{8}, +_{8})$; $A=${$0,2,4,6$}.




tumor
postów: 8070
2017-10-17 15:51:19

Sprawdzić, czy jest zamknięty, to po prostu ocenić, czy wynik działania na dwóch elementach z A może być poza zbiorem A. Tu oczywiście nie może.

Sprawdzić, czy jest podgrupą, to sprawdzić, czy jest zbiorem zamkniętym na działanie i czy jest grupą. Skoro działanie było łączne w $G$, to oczywiście będzie łączne w każdym podzbiorze $A\subset G$ zamkniętym na to działanie. To samo gdyby nas interesowała przemienność.
Element neutralny z G jest w A, więc też musi tam był neutralny. Pozostaje się zorientować, czy wszystkie elementy odwrotne elementów z A są w A.


geometria
postów: 865
2017-10-17 17:19:30

Elementem neutralnym jest $0$.
Jest on odwrotny do samego siebie, bo jest elementem neutralnym.
$n-x$ jest elementem odwrotnym do $x$ wzgledem $+_{n}$.

$n=8$

$x=2, 8-2=6$, czyli $6$ jest elementem odwrotnym do $2$;
$x=4, 8-4=4$, czyli $4$ jest elementem odwrotnym do $4$;
$x=6, 8-6=2$, czyli $2$ jest elementem odwrotnym do $6$.

Zatem wszystkie elementy odwrotne do elementow ze zbioru $A$ naleza tez do zbioru $A$. Czyli $A$ jest podgrupa $G$.

A jak uzasadnic, ze wynik tego dzialania (czyli $a+_{8} b=r_{8}(a+b)$) dla wszystkich elementow z $A$ bedzie zawsze w $A$?


geometria
postów: 865
2017-10-17 19:57:20

To samo polecenie, ale dla $G=S_{3}$; $A=${$id$, $\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}$}.

Czy zbior $A$ jest zamkniety na dzialanie $\circ$ skladania funkcji?
$\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}$$\circ$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}$$=id=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}$ $\in A$

Wydaje mi sie, ze zbior $A$ bedzie zamkniety na dzialanie skladania, ale nie wiem jak to uzasadnic.

Czy elementem neutralnym bedzie $e=$$id=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}$?




Wiadomość była modyfikowana 2017-10-17 20:38:28 przez geometria

tumor
postów: 8070
2017-10-18 01:33:25

1. Dodawanie liczb parzystych modulo 8 daje wynik parzysty, a wszystkie parzyste reszty z dzielenia przez 8 są w A.

2. Dla tak niewielu elementów wystarczy sprawdzić wszystkie pary. Przy tym w ogólności składanie permutacji nie jest przemienne, czyli musisz sprawdzić wszystkie pary w każdą stronę (chyba że wpierw udowodnisz, że dla tego zbioru składanie będzie przemienne).
Bardziej abstrakcyjnie coś uzasadniać by trzeba, gdyby elementów było dużo i ręczne sprawdzenie wszystkich byłoby trudne.

Tak, identyczność jest zawsze elementem neutralnym złożeń.




geometria
postów: 865
2017-10-20 14:14:20

$id\circ id=id$
Sprawdzilem wszystkie pozostale zlozenia i wszystkie naleza do $A$.
Zatem zbior $A$ jest zamkniety na dzialanie $\circ$.

Element neutralny to $id$. Jest on odwrotny do samego siebie.

Kazdy element ze zbioru A ma element odwrotny, ktory tez nalezy do zbioru A. Co bylo widac na wczesniejszych zlozeniach.

Wiec elementem odwrotnym do $\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}$ jest $\begin{bmatrix} 1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}$, a el. odwr. do $\begin{bmatrix} 1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}$ jest $\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}$.

Zatem $A$ jest podgrupa $G$.


tumor
postów: 8070
2017-10-20 20:32:36

ok

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj