Algebra, zadanie nr 5580
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| geometria postów: 865 |  2017-10-30 00:17:38Kazda transpozycja jest iloczynem nieparzystej liczby transpozycji liczb sasiednich. Ale jak to zastosowac? Np. dla transpozycji a) $(1,2)$ b) $(3,4)$ c) $(2,5)$ |
| geometria postów: 865 | 2017-10-31 14:30:42 Chyba juz wiem. a) $(1,2)=(1,2)$ b) $(3,4)=(3,4)$ c) $(2,5)=(2,3)(3,4)(4,5)(3,4)(2,3)$ |
| geometria postów: 865 | 2017-10-31 23:21:35 1. Dana jest permutacja $\alpha$=$\begin{bmatrix} 1&2&3&4&5\\4&3&5&1&2\end{bmatrix}$$\in S_{5}$. a) przedstawic $\alpha$ jako zlozenie pewnej liczby transpozycji postaci (1, i), gdzie $i\in$ {$2,3,4,5$} b) rozlozyc permutacje $\alpha$ na iloczyn transpozycji liczb sasiednich c) okreslic rzad $\alpha$ d) ile elementow tego rzedu jest w grupie $S_{5}$? e) okreslic indeks podgrupy generowanej przez $\alpha$ f) w grupie $S_{5}$ rozwiazac rownanie $\alpha\circ x=x\circ \alpha$ a) $\alpha=(1,4)(2,3,5)=(1,4)(2,5)(2,3)=(1,4)(1,2)(1,5)(1,2)(1,2)(1,3)(1,2)=(1,4)(1,2)(1,5)(1,3)(1,2)$ $(2,5)=(1,2)(1,5)(1,2)$ $(2,3)=(1,2)(1,3)(1,2)$ $(1,2)(1,2)=id$ b) $\alpha=(1,4)(2,3,5)=(1,4)(2,5)(2,3)=(1,2)(2,3)(3,4)(2,3)(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(3,4)(2,3)(2,3)=(1,2)(2,3)(3,4)(2,3)(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(3,4)$ c) $ord(\alpha)=NWW(2,3)=6$ d), e) ? f) $\begin{bmatrix} 1&2&3&4&5\\4&3&5&1&2\end{bmatrix}$$x=x$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4&5\\4&3&5&1&2\end{bmatrix}$ Wiadomość była modyfikowana 2017-10-31 23:29:43 przez geometria |
| tumor postów: 8070 | 2017-11-09 13:25:58 |
| geometria postów: 865 | 2017-11-09 15:35:19 d) Aby rzad elementu byl rowny 6 to moga byc jedynie permutacje rozkladane na dwa cykle rozlaczne o dlugosci 2 i 3 (lub 3 i 2). Ja policzylbym tak: Elementow rzedu 6 w grupie $S_{5}$ jest ${5 \choose 2}{3 \choose 3}=10*1=10$ (bo liczby nie moga sie powtorzyc i ich kolejnosc nie ma znaczenia). |
| tumor postów: 8070 | 2017-11-09 21:34:56 |
| geometria postów: 865 | 2017-11-09 22:38:39 d) $f,g,h$ wybrane liczby do cyklu trojelemntowego Z nich mozna stworzyc dwa rozne cykle. $(f,g,h)$ i $(f,h,g)$. Czyli ostatecznie: elementow rzedu 6 w grupie $S_{5}$ jest $10*2!=20$. Liczba elementow grupy $S_{5}$ wynosi $5!=120$. d') Dla $S_{6}$: W zbiorze $n$-elementowym liczba cykli o dlugosci $k$ wynosi ${n \choose k}(k-1)!$. (a,b,c,d,e,f) wybieramy 6 elementow z 6 (czyli na jeden sposob) i nastepnie ustawiamy je w rozne cykle. Zatem takich cykli jest $1*(6-1)!=5!=120$. Oprocz tego permutacja moze byc w postaci dwoch cykli rozlacznych o dlugosciach 2 i 3. Wowczas liczba takich permutacji (elementow) jest rowna ${6 \choose 2}{4 \choose 3}(3-1)!=15*4*2=120$. Ostatecznie elementow rzedu 6 w tej grupie jest $120+120=240$. |
| geometria postów: 865 | 2017-11-09 23:13:27 e) Rzad elementu $\alpha$ jest rowny rzedowi podgrupy $<\alpha>=${$\alpha^{0}=e,\alpha^{1},\alpha^{2},\alpha^{3},\alpha^{4},\alpha^{5}$}. Czyli rzad podgrupy $<\alpha>$ wynosi 6. Rzad grupy (czyli liczba jej elementow) $S_{5}$ wynosi $5!=120$. Zatem indeks podgrupy generowanej przez $\alpha$ jest rowny $(S_{5}:<\alpha>)=\frac{120}{6}=20$. f) $x=odwrotnosc$ lub $x=id$ lub $x=\alpha$. Ale czy bedzie wiecej to nie wiem. |
| geometria postów: 865 | 2017-11-10 17:36:05 f) Bo jak pokazac ile jest tych rozwiazan? |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj