Algebra, zadanie nr 5591

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2017-11-09 23:47:19 Wskazac podgrupe grupy $S_{4}$ izomorficzna z grupa a) $S_{3}$ b) $(Z_{3}, +_{3})$ c) czworkowa Kleina $K_{4}$. Wszystkie odpowiedzi uzasadnic. Do kazdego podpunktu inna podgrupa. Podgrupa grupy musi byc zamknieta na dzialanie, miec element neutralny i odwrotny do kazdego elementu z tej podgrupy. Grupy $(G, *), (H, \cdot)$ sa izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm $f: G\rightarrow H$.

tumor postów: 8070	2017-11-10 10:38:46

geometria postów: 865	2017-11-12 11:50:15 a) Niech $H\lt S_{4}$. Grupa $S_{3}$ ma 6 elementow. Skoro $H$ ma byc izmorficzna z $S_{3}$ to tez musi miec 6 elementow. $H=\{$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&2&3&4\end{bmatrix}$=id, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&1&3&4\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&2&1&4\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&3&2&4\end{bmatrix}$$\}$. Grupy te sa izomorficzne, bo istnieje izmorfizm $f$ taki, ze: $f: H\rightarrow S_{3}$ $f(id)=id$; $f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}$; $f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}$; $f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&1&3&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&1&3\end{bmatrix}$; $f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&1&3&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&1&3\end{bmatrix}$; $f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&2&1&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\3&2&1\end{bmatrix}$; $f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&3&2&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\1&3&2\end{bmatrix}$. Funkcja $f$ jest bijekcja. To raczej widac. Czy trzeba to pokazac? Funkcja $f$ musi spelniac warunek $(\forall_{a, b\in H})$ $f(a\circ b)=f(a)\circ f(b)$. Ale jak pokazac, ze go spelnia? Mozna sprawdzic po kolei wszystkie elementy, ale to czasochlonne. Czy juz nie ma potrzeby tego sprawdzac?

tumor postów: 8070	2017-11-12 16:14:52

geometria postów: 865	2017-11-12 20:22:00 b) $H\le S_{4}$; $Z_{3}=\{0, 1, 2\}$; $\|Z_{3}\|=3$. Grupa $H$ tez bedzie miec 3 elementy. $H=<$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$$>=\{$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&2&3&4\end{bmatrix}$$=id$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix}$$\}$. $(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix})^{0}=id$ $(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix})^{1}=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$ $(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix})^{2}=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix}$ Zatem grupa $H$ tez jest cykliczna, generatorem jest permutacja $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$. Wiec na podstawie twierdzenia grupy te sa izomorficzne. Jest tez izomorfizm $f: H\rightarrow Z_{3}$ taki, ze: $f(id)=0$; $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix})=1$; $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix})=2$. c) $H\le S_{4}$; $K_{4}=\{id=O_{0^{\circ}}, O_{180^{\circ}}, S_{1}, S_{2}\}$; $S_{1}$-symetria wzgledem osi poziomej, $S_{2}$-symetria wzgledem osi pionowej; $\|K_{4}\|=4$. Grupa $H$ tez bedzie miec 4 elementy. $H=\{$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&2&3&4\end{bmatrix}=id$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&1&4&3\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&3&2&1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix}\}$. Mamy izomorfizm $f: K_{4}\rightarrow H$ taki, ze: $f(id)=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&2&3&4\end{bmatrix}$; $f(O_{180^{\circ}})=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix}$; $f(S_{1})=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&3&2&1\end{bmatrix}$; $f(S_{2})=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&1&4&3\end{bmatrix}$.

geometria postów: 865	2018-11-10 21:36:11

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj