Algebra, zadanie nr 5615

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 863	2017-11-29 00:00:37 Czy ponizsze podgrupy $H\le G$ sa dzielnikami normalnymi? 1) $H=(Z,+), G=(R, +)$ Podgrupa $H$ jest dzielnikiem normalnym $G$, gdy dla kazdego $g\in G$ i dla kazdego $h\in H$ $ghg^{-1}\in H$ (addytywnie $g+h-g=h\in H$). Ponadto w kazdej grupie przemiennej każda jej podgrupa jest dzielnikiem normalnym. Grupa $G=(R, +)$ jest przemienna. Zatem grupa $(Z, +)$ jest dzielnikiem normalnym w $(R, +)$. 2. $H=\{id, O_{90}, O_{180}, O_{270}\}, G=D_{4}$ Podgrupa indeksu 2 zawsze jest dzielnikiem normalnym. $[D_{4} : H]=2$. Zatem jest to dzielnik normalny. 3. $H=\{id, S\}, G=D_{4}$, gdzie $S$ jest dowolna symetria osiowa z $D_{4}$ 4. $H=\{id, O_{180}\}, G=D_{4}$

tumor postów: 8070	2017-11-29 10:41:54 1) ok. W praktyce w pierwszym argumencie, pisząc g+h-g=h korzystasz z przemienności, więc tak czy inaczej to na przemienność wypada się tu powołać. 2) ok 3) to ja mam robić? Jeśli nie ma pomysłu, to sprawdzaj ręcznie, czy w każdym przypadku $ghg^{-1}\in H$, tych przypadków nie jest aż tak dużo (id nie ma co sprawdzać, w końcu $g\circ id \circ g^{-1}=id\in H$ zawsze)

geometria postów: 863	2018-11-21 17:46:24 3. Ale $H=\{id, S\}$ nie jest podgrupa $D_4$, wiec nie moze byc dzielnikiem normalnym.

tumor postów: 8070	2018-11-21 20:50:37 A jak sprawdzasz, że to nie jest podgrupa?

geometria postów: 863	2018-11-22 09:55:35 3. Jest podgrupa. Pomylilo mi sie. :) Bo ja w pierwszej chwili myslalem, ze do $H$ nalezą wszystkie cztery symetrie (wowczas $H$ nie byloby podgrupa, bo zlozenie symetrii osiowych jest obrotem, ktorego (oprocz obrotu zerowego) nie ma w $H$ a w ostatecznosci $H$ nie byloby dzielnikiem normalnym $D_{4}$). Ale do $H$ nalezy tylko jedna (ale dowolna) z czterech symetrii z $D_{4}$. Wowczas, gdy $H=\{id, S\}$, to jest to podgrupa $D_{4}$. Ale nie jest ona dzielnikiem normalnym w $D_4$, bo np. gdy $H=\{id, S_{1}\}$ mamy: $O_{90^{\circ}}S_1O_{270^{\circ}}=S_3O_{270^{\circ}}=S_2\notin H$. 4. $H=\{id, O_{180{\circ}}\}$ jest dzielnikiem normalnym $D_4$, bo: $O_{90^{\circ}}O_{180^{\circ}}O_{270^{\circ}}=O_{270^{\circ}}O_{270^{\circ}}=O_{180^{\circ}}\in H$ $O_{180^{\circ}}O_{180^{\circ}}O_{180^{\circ}}=idO_{180^{\circ}}=O_{180^{\circ}}\in H$ $O_{270^{\circ}}O_{180^{\circ}}O_{90^{\circ}}=O_{90^{\circ}}O_{270^{\circ}}=O_{360^{\circ}}=id\in H$ (kazda z symetrii jest swoja odwrotnoscia) $S_{1}O_{180^{\circ}}S_{1}=S_{2}S_{1}=O_{180^{\circ}}\in H$ $S_{2}O_{180^{\circ}}S_{2}=S_{1}S_{2}=O_{180^{\circ}}\in H$ $S_{3}O_{180^{\circ}}S_{3}=S_{4}S_{3}=O_{180^{\circ}}\in H$ $S_{4}O_{180^{\circ}}S_{4}=S_{3}S_{4}=O_{180^{\circ}}\in H$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj