Algebra, zadanie nr 5618

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2017-12-04 21:23:16 Znalezc nietrywialne podgrupy $A, B\lt Z_{15}$ takie, ze funkcja $f: A\times B\rightarrow Z_{15}$,$ f(a,b)=a+_{15}$ $b$ jest izmorfizmem. Nietrywialne, czyli niejednoelementowe. $15=3\cdot 5$ Niech $A=Z_{3}, B=Z_{5}$. Wowczas $Z_{3}\times Z_{5}\cong Z_{15}$, bo $NWD(3,5)=1$. Ale czy to wszystkie?

tumor postów: 8070	2017-12-05 00:25:29 Podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna (dowód podasz?). Wobec tego $Z_{15}$ ma tylko podgrupy 1,3,5,15-elementowe cykliczne, czyli izomorficzne z $Z_1, Z_3, Z_5, Z_{15}$. Natomiast nie chodzi tu bezpośrednio o grupę $Z_3$, ale o grupę $\{0,5,10\}$ z $+_{15}$ i analogicznie nie chodzi o $Z_5$, ale izomorficzną z nią $\{0,3,6,9,12\}$ z $+_{15}$ Bo dosłownie rozumując $f:Z_3\times Z_5 \to Z_{15}$ dane wzorem $f(a,b)=a+_{15}b$ nie jest nawet bijekcją (można otrzymać tylko elementy 0,1,2,3,4,5,6) Wiadomość była modyfikowana 2017-12-05 00:27:22 przez tumor

geometria postów: 865	2017-12-05 18:25:10 Nie wiem czy moje spostrzezenie jest dobre, ale zauwazylem, ze elementami grupy $A=\{0,5,10\}$ izomorficznej z $Z_{3}$ sa wielokrotnosci liczby $5$, natomiast elementami grupy $B=\{0,3,6,9,12\}$ izomorficznej z $Z_{5}$ sa wielokrotnosci liczby $3$. Czyli ostatecznie sa 2 takie podgrupy.

geometria postów: 865	2017-12-05 21:56:29 Mozna tez skorzystac z twierdzenia o produkcie wewnetrznym. A jakby zamiast $Z_{15}$ bylo $Z_{20}$. Wowczas: $20=4\cdot 5$, $NWD(4,5)=1$. Te podgrupy to:$A=\{0,5,10,15\}$, $B=\{0,4,8,12,16\}$. $Z_{20}$ jest produktem wewnetrznym $A$ i $B$ i z tw. o produkcie wewnetrznym $A\times B\cong Z_{20}$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj