Algebra, zadanie nr 5625

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2017-12-10 23:43:52 Wypisac wszystkie generatory nastepujacych grup cyklicznych: a) $(Z, +)$ b) $(Z_{24}, +_{24})$ c) $(Z_{35}, +_{35})$ a) Generatory grupy $(Z, +)$ to $<-1>$ i $<1>$. b) Dzielniki liczby $24$ to: $1,2,3,4,6,8,12,24$. I teraz mam szukac tych generatorow w nastepujacy sposob? $<1>=\{0, 1\cdot 1, 1\cdot 2, 1\cdot 3, 1\cdot 4, ..., 1\cdot n\}$ $<2>=\{0, 2\cdot 1, 2\cdot 2, 2\cdot 3, 2\cdot 4, ..., 2\cdot n\}$ $<3>=\{0, 3\cdot 1, 3\cdot 2, 3\cdot 3, 3\cdot 4, ..., 3\cdot n\}$ $...$ $<24>=\{0, 24\cdot 1, 24\cdot 2, 24\cdot 3, 24\cdot 4, ..., 24\cdot n\}$ c) Dzielniki liczby $35$ to: $1,5,7,35$. Analogicznie jak w b).

tumor postów: 8070	2017-12-10 23:54:09 b) Tak, ręczne sprawdzenie to wariant prosty, łopatologiczny. Gdy już umiesz to wykonać, czas pomyśleć o uogólnieniu w postaci twierdzenia. Które elementy $Z_n$ będą generatorami?

geometria postów: 865	2017-12-11 06:54:42 Wydaje mi sie, ze wzglednie pierwsze z $n$.

tumor postów: 8070	2017-12-11 09:51:00 To teraz wypada to udowodnić. Lemacik Jeśli $k<n$ jest względnie pierwsze z $n$, to liczby: $0, k, 2k,..., (n-1)k$ mają parami różne reszty z dzielenia przez $n$. Dowodzik Gdyby bowiem dwie reszty były identyczne, to znaczy $ak\equiv bk (mod \mbox{ }n)$ dla $a,b\in \{0,1,...,n-1\}$ to $(a-b)k\equiv 0 (mod \mbox{ }n)$ $k$ jest względnie pierwsze z n, czyli $n\|(a-b)$, co jest możliwe tylko dla $a=b$. Skoro liczby $0, k, 2k,..., (n-1)k$ mają parami różne reszty z dzielenia przez $n$, a reszt tych jest $n$, to reszty muszą wynosić $0,1,2,...,n-1$ (nie interesuje nas kolejność, oczywiście), czyli w ten sposób załatwiamy wszystkie elementy grupy $Z_n$ z dodawaniem mod $n$, zatem element $k$ jest generatorem. ----- Tobie zostawimy dowód, że jeśli $NWD(k,n)>1$, to $k$ nie jest generatorem $Z_n$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj