Analiza matematyczna, zadanie nr 5687

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
aress_poland postów: 66	2018-02-09 18:24:23 Przyjmijmy poniższą definicję powierzchni. Definicja: Zbiór $S \subset R^{n}$nazywamy powierzchnią wymiaru $k\le n$ jeśli dla każdego punktu $x\in S$ istnieje otwarte otoczenie $U$ punktu $x $ w $ R^{n}$, otwarte otoczenie $O$ punktu $0 \in R^{n}$ oraz homeomorfizm $\alpha : U\rightarrow O$, $\alpha (x)=0$, $\alpha (y)=(\beta^{1}(y),...,\beta^{n}(y))$ taki, że warunek $y \in S \cap U$ jest równoważny warunkowi $\beta^{k+1}(y)=...=\beta^{n}(y)=0$. Mówimy, że $S$ jest powierzchnią klasy $C^{r}$ jeśli $\alpha$ jest dyfeomorfizmem klasy $C^{r}$. Zachodzi następujące twierdzenie. Twierdzenie (o maksymalnym rzędzie): Niech $F:R^{n}\supset O\rightarrow R^{m}$, $m < n$ będzie odzworowaniem różniczkowalnym w sposób ciągły. Niech także $S=F^{-1}(0,...,0)$ będzie zawarte w $O$. Wówczas jeśli w każdym punkcie $p \in S$ pochodna $F'(p)$ ma maksymalny rząd (czyli równy m) to $S$ jest powierzchnią w $R^{n}$ wymiaru $k=n-m$. Wniosek z twierdzenia: Jeśli zbiór jest (lokalnie) poziomicą odwzorowania klasy $C^{1}$ to jest też (lokalnie) powierzchnią. Piszę "lokalnie", bo w dowodzie twierdzenia o maksymalnym rzędzie korzystam z Twierdzenie o Funkcji Uwikłanej, które zakłada lokalność odwzorowania. Pojawia się pytanie, czy zachodzi implikacja odwrotna do tej zapisanej we wniosku tzn. możemy zadać następujące pytanie. Pytanie: Czy prawdziwe jest następujące zdanie. Jeśli dany zbiór jest (lokalnie) powierzchnią to czy ten zbiór jest (lokalnie) poziomicą pewnego odwzorowania różniczkowalnego? Wiadomość była modyfikowana 2018-02-09 18:26:11 przez aress_poland

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj