Analiza matematyczna, zadanie nr 570
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| abcdefgh postów: 1255 |  2012-10-27 19:36:51Indukcja Matematyczna: $n^{n+1}>(n+1)^{n}$ $\forall_{n>3}$ $(i)3 \in A $ $4^3>3^4$ 81>64 (ii)założenie $n^{n+1}>(n+1)^{n}$ teza:$(n+1)^{n+2}>(n+2)^{n+1}$ Dowód: $L=(n+1)^{n+2}$= |
| tumor postów: 8070 | 2012-10-27 21:01:12 Na początek przypomnimy sobie, że $(n+1)^n=\sum_{k=0}^{n}n^k{n \choose k}$ $(n+1)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}n^k{n+1 \choose k}$ $(n+2)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}(n+1)^k{n+1 \choose k}$ Ponadto, jeśli k,n są ustalonymi liczbami naturalnymi, $k\le n$, to jeśli $n^{n+1}>(n+1)^n$, to podnosząc obie strony do potęgi $\frac{k}{n}$ otrzymujemy $n^{k+1}\ge n^{k+\frac{k}{n}}>(n+1)^k$ teraz jesteśmy przygotowani do rozpykania nierówności. $L=(n+1)^{n+2}=(n+1)(n+1)^{n+1}=(n+1)\sum_{k=0}^{n+1}n^k{n+1 \choose k}\ge n\sum_{k=0}^{n+1}n^k{n+1 \choose k}=\sum_{k=0}^{n+1}n^{k+1}{n+1 \choose k}$ Korzystamy z przygotowanej nierówności i dostajemy $L\ge\sum_{k=0}^{n+1}n^{k+1}{n+1 \choose k}>\sum_{k=0}^{n+1}(n+1)^k{n+1 \choose k}=(n+2)^{n+1}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj