Inne, zadanie nr 5726
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| 13natalia13 postów: 3 |  2018-04-20 21:01:13Mam takie twierdzenie: Niech $\Omega \subset \mathbb{C}$ będzie obszarem, wówczas następujące warunki są równoważne: i) $\forall f \in \mathcal{O}(\Omega) \: \exists F \in \mathcal{O}(\Omega): \quad F'=f, \quad$ (istnienie funkcji pierwotnej) ii) $\forall f \in \mathcal{O}_*(\Omega) \: \exists g \in \mathcal{O}(\Omega): \quad e^g=f, \quad$ (istnienie logarytmu) iii) $\forall f \in \mathcal{O}_*(\Omega) \: \exists g \in \mathcal{O}_*(\Omega): \quad g^2=f, \quad$ (istnienie pierwiastka) iv) $\Omega$ jest obszarem jednospójnym. ( $\mathcal{O}_*(\Omega)$ oznacza zbiór funkcji holomorficznych, które nigdzie sie nie zerują) potrzebuję je udowodnić, jak na razie mam tyle: i) $\Rightarrow$ ii) Niech $f\in \mathcal{O}_*(\Omega)$, wówczas wiemy, że $\dfrac{f'}{f} \in \mathcal{O}(\Omega)$ i na mocy i) istnieje funkcja pierwotna $g \in \mathcal{O}(\Omega)$ taka, że $g'=\dfrac{f'}{f}$, czyli $g'\cdot f=f'$. Jeśli teraz ustalimy $z_0 \in \Omega$, to istnieje $g$ takie, że $e^{g(z_0)}=f(z_0)$ i wówczas $\left( \dfrac{e^g}{f}\right)'=0$, czyli $\dfrac{e^g}{f}=const$. Dostajemy więc, że $e^g=f$. ii) $\Rightarrow$ iii) Wystarczy, że podstawimy: $\displaystyle e^g=\left(e^{\frac{g}{2}}\right)^2.$ i) $\Rightarrow$ iv) Niech $f\in\mathcal{O}(\Omega)$, gdzie $\Omega$ jest obszarem w $\mathbb{C}$. Posiada ona pierwotną, którą możemy zdefiniować następująco dla punktu $z_0 \in \Omega$: $$F(z):=\int_{z_0}^z f(\xi)d\xi, \quad z\in\Omega.$$ Jednak, aby to miało sens, całka nie może zależeć od drogi całkowania pomiędzy $z_0$ i $z$, a wiemy z Twierdzenia Cauchy'ego, że zachodzi to dla obszaru jednospójnego. z tym, że nie jestem pewna poprawności tego dowodu a zwłaszcza ostatniej implikacji, czy ktoś wie jak pomóc? |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj