Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 5763

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
zbigniew86 postów: 9	2018-06-10 11:44:04 Cześć Proszę o rozwiązanie poniższych całek nieoznaczonych z funkcji wymiernych: 1) całka z (12-6x^2)/((4-x^2)(1-x^2)) po dx 2) całka z (x^4+8x+3)/(x(x-1)^3) po dx 3) całka z (x^4+1)/(x^3-x^2+x-1) po dx Rozwiązywałem te całki i częściowo mam inne wyniki niż w odpowiedziach dlatego proszę o pomoc. Chcę sprawdzić czy ja źle rozwiązuje czy błąd w książce. Na razie nie chce sugerować sposobu postępowania. Pozdrawiam i z góry dzięki za odpowiedzi. Wiadomość była modyfikowana 2018-06-10 12:00:36 przez zbigniew86

tumor postów: 8070	2018-06-10 14:22:29 Myślę, że jeśli potrzebujesz sprawdzenia Twoich obliczeń, najrozsądniej będzie dać tu obliczenia i ktoś sprawdzi. Jest niezupełnie fajne, żeby ktoś powtarzał Twoje obliczenia od nowa (przy całej nudzie rozkładania na ułamki proste), bo chcesz sobie sprawdzić. Skądinąd w netach są kalkulatory całek, które całkę wymierną bez problemu policzą, więc będzie wiadomo, czy odpowiedź masz dobrą czy nie. Zdanie o "sugerowaniu sposobu postępowania" brzmi złowieszczo.

zbigniew86 postów: 9	2018-06-10 16:35:20 Dzięki za odp tumor. Znalazłem kalkulator całek (wynik pokazuje zgodny z odp. w ks.). Przyjrzałem się jeszcze raz i znalazłem błędy w swoim rozwiązaniu pierwszej całki, poniżej prawidłowe rozwiązanie 1 całki: $\int_{}^{}\frac{(12-6x^2)}{(4-x^2)(1-x^2)}= \int_{}^{}\frac{(12-6x^2)}{(-x+2)(x+2)(-x+1)(x+1)}=$ Rozkład na ułamki proste: $\frac{(12-6x^2)}{(-x+2)(x+2)(-x+1)(x+1)}=\frac{A}{-x+2}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{-x+1}+\frac{D}{x+1}$ $12-6x^2=A(x+2)(-x+1)(x+1)+B(-x+2)(-x+1)(x+1)+C(-x+2)(x+2)(x+1)+D(-x+2)(x+2)(-x+1)$ Metoda wartości dowolnych dla x= -2 : B=1 dla x= 2 : A=1 dla x= 1 : C=1 dla x= -1 : D=1 $=\int_{}^{}\frac{dx}{-x+2}+\int_{}^{}\frac{dx}{x+2}+\int_{}^{}\frac{dx}{-x+1}+\int_{}^{}\frac{dx}{x+1}=-ln(-x+2)+ln(x+2)-ln(-x+1)+ln(x+1)=$ $=ln(x^2+3x+2)-ln(x^2-3x+2)=ln(\frac{x^2+3x+2}{x^2-3x+2})+C$ Wiem, że rozwiązywanie tych całek to żmudna robota (tym bardziej wpisywanie to tutaj). Jak nie znajdę rozwiązania dla pozostałych dwóch całek to wpiszę co mam i najwyżej poprawicie mnie. Pozdro

tumor postów: 8070	2018-06-10 17:38:58 Dziękuję za prawidłowe rozwiązanie (nie sprawdzam, skoro mówisz, że już nie trzeba). Błędy w książkach się zdarzają, ale o wiele częściej się je robi samemu w mnożeniu liczb jednocyfrowych. ;) No i wystarczy, jeśli napiszesz same ułamki proste i ostateczny wynik, do sprawdzenia nie potrzeba więcej.

zbigniew86 postów: 9	2018-06-11 20:17:53 Całka nr 2: $\int_{}^{}\frac{(x^4+8x+3)dx}{x(x-1)^3}=\int_{}^{}\frac{(x^4+8x+3)dx}{x(x-1)(x-1)^2}=\int_{}^{}\frac{(x^4+8x+3)dx}{(x^2-x)(x^2-2x+1)}=\int_{}^{}\frac{(x^4+8x+3)dx}{x^4-3x^3+3x^2-x}=$ Z dzielenia wielomianów wychodzi: $=\int_{}^{}1dx+3\int_{}^{}\frac{(x^3-x^2+3x+1)dx}{x(x-1)(x-1)^2}=$ Rozkład na ułamki proste (i teraz która opcja??? próbowałem różnych, chyba wszystkich... nic z tego...): 1) $\frac{(x^3-x^2+3x+1)}{x(x-1)(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}$ 2) $\frac{(x^3-x^2+3x+1)}{x(x-1)(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}$ 3) $\frac{(x^3-x^2+3x+1)}{x(x-1)(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{Cx+D}{x^2-2x+1}$ 4) $\frac{(x^3-x^2+3x+1)}{x(x-1)(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x-1}$ Odpowiedź w książce: $x+3ln\frac{(x-1)^2}{x}-\frac{6}{(x-1)^2}+C$ Odpowiedź wg kalkulatora całek z neta: $x-\frac{6}{(x-1)^2}+6log(1-x)-3log(x)+C$

tumor postów: 8070	2018-06-11 21:33:18 ułamek $\frac{x^3-x^2+3x+1}{x(x-1)^3}$ ma być rozpisany jako $\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x-1)^2}+\frac{D}{(x-1)^3}$ Odpowiedzi z książki i kalkulatora są "takie same", bo $6log(1-x)=3log(1-x)^2$ oraz $(1-x)^2=(x-1)^2$ Czy tam jednak nie ma wartości bezwzględnej nigdzie? Aha. Po polsku ln to logarytm naturalny a log dziesiętny, ale po angielsku log to logarytm naturalny, a nie dziesiętny.

zbigniew86 postów: 9	2018-06-12 20:13:27 Teraz wszystko pasuje. Tak jest wartość bezwzględna, w mianowniku: $x+3ln\frac{(x-1)^2}{\|x\|}-\frac{6}{(x-1)^2}+C$ =========================== Czas na całkę nr 3: $\int_{}^{}\frac{(x^4+1)dx}{x^3-x^2+x-1}=$ Po dwukrotnym dzieleniu wielomianów wychodzi: $\frac{x^2}{2}+x+2\int_{}{}\frac{dx}{x^3-x^2+x-1}=\frac{x^2}{2}+x+2\int_{}{}\frac{dx}{(x^2+1)(x-1)}=$ Rozkład na ułamki proste: $\frac{1}{(x^2+1)(x-1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$ Współczynniki wychodzą: A=1/2 ; B=-1/2 ; C=-1/2 $=\frac{x^2}{2}+x+2(\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{dx}{x-1}+\int_{}^{}\frac{-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}{1+x^2})=$ $=\frac{x^2}{2}+x+\int_{}^{}\frac{dx}{x-1}-\int_{}^{}\frac{x+1}{1+x^2}dx=$ $=\frac{x^2}{2}+x+ln\|x-1\|-\int_{}^{}\frac{x+1}{1+x^2}dx=$ Ponowny rozkład funkcji podcałkowej: Ponieważ w mianowniku funkcji podcałkowej delta<0 ==> wzór $\int_{}^{}\frac{x+1}{x^2+1}=\alpha\int_{}^{}\frac{2x}{x^2+1}dx+\beta\int_{}^{}\frac{dx}{x^2+1}$ Współczynniki $\alpha=1/2 ; \beta=1 $ $\int_{}^{}\frac{x+1}{x^2+1}=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x}{x^2+1}dx+\int_{}^{}\frac{dx}{x^2+1}=\frac{1}{2}ln(x^2+1)+arctgx$ Ostatecznie: $=\frac{x^2}{2}+x+ln\|x-1\|-\frac{1}{2}ln(x^2+1)-arctgx+C=$ $=\frac{x^2}{2}+x+ln\|x-1\|-ln(x^2+1)^{1/2}-arctgx+C=$ $=\frac{x^2}{2}+x+ln\frac{\|x-1\|}{\sqrt{x^2+1}}-arctgx+C$ Odpowiedź zgodna z książką Dzięki tumor.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj