Algebra, zadanie nr 5818
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2018-10-25 10:34:05Wskaza膰 z uzasadnieniem podgrup臋 $D_{3}$ izomorficzn膮 z ($Z_{3}$, $+_{3}$). $D_{3}=\{id=O_{0^{\circ}}, O_{120^{\circ}}, O_{240^{\circ}}, S_{1}, S_{2}, S_{3}\}$; $|D_{3}|=6$ $Z_{3}=\{0, 1, 2\}$; $|Z_{3}|=3$ Niech $H\lt D_{3}$. Aby $H$ byla izomorficzna z $Z_{3}$ to musi miec 3 elementy, czyli $|H|=3$. Jednym z tych element贸w bedzie $id=O_{0^{\circ}}$; $H=\{id=O_{0^{\circ}}, ..., ...\}$ Niech $f$ szukany izomorfizm. $f:H\rightarrow Z_{3}$ $f(O_{0^{\circ}})=0$ (element neutralny przechodzi na neutralny) Jakie beda pozostale dwa elementy w $H$? W jaki sposob je wyznaczyc? |
tumor post贸w: 8070 | 2018-10-25 11:14:55 No, masz s艂uszno艣膰 co do wniosk贸w, 偶e musz膮 by膰 3 elementy, w tym element neutralny id. Mo偶na szybko przemy艣le膰, jakie偶 to podgrupy ma $D_3$. 艁atwo zauwa偶y膰, 偶e je艣li w podgrupie jest jaki艣 niezerowy obr贸t, to s膮 w niej wszystkie obroty, wobec tego podgrupa zawieraj膮ca cho膰 jeden obr贸t i cho膰 jedn膮 symetri臋 musi mie膰 ju偶 4 elementy (a tak naprawd臋 6, cho膰 to ju偶 niewiele zmienia). Je艣li podgrupa zawiera dwie r贸偶ne symetrie, to zawiera te偶 ich z艂o偶enie, czyli obr贸t (wi臋c ma co najmniej 5 element贸w, a w istocie te偶 6). Innymi s艂owy wykluczone jest, 偶eby tr贸jelementowa podgrupa $D_3$ mia艂a jakie艣 dwie symetrie albo symetri臋 i niezerowy obr贸t. Jedyne wyj艣cie to podgrupa samych obrot贸w. Do tej pory pomy艣leli艣my tylko kandydatur臋. Zatem $H=\{O_0, O_{120^\circ}, O_{240^\circ}\}$ jest kandydatem na izomorfizm z $Z_3$. Nale偶y sprawdzi膰 ten izomorfizm. a) mo偶na na piechot臋. Na przyk艂ad $0 \mapsto O_0, $ $1 \mapsto O_{120^\circ},$ $2 \mapsto O_{240^\circ}$ nale偶y sprawdzi膰, 偶e zachowane s膮 dzia艂ania. No i trzeba sprawdzi膰 $(1+1) \mapsto O_{120^\circ}\circ O_{120^\circ}$ $(1+2) \mapsto ...$ (nie trzeba sprawdza膰 elementu neutralnego) a2) powy偶szy rachunek mo偶na nieco skr贸ci膰, zapisuj膮c jawnie wz贸r kandydata na izomorfizm $f(a)=O_{a*120^\circ}$ wtedy $f(a+b)=O_{(a+b)*120^\circ}=O_{b*120^\circ}O_{a*120^\circ}$ (sk艂ada si臋 od prawej, nie?) b) korzystaj膮c z jakiego艣 twierdzenia. Akurat bardzo 艂atwo udowodni膰, 偶e dwie grupy cykliczne maj膮ce tyle samo element贸w s膮 izomorficzne. Znaj膮c ten dow贸d wystarczy zauwa偶y膰, 偶e $Z_3$ i $H$ s膮 obie cykliczne. |
geometria post贸w: 865 | 2018-10-25 14:37:08 a) $f:Z_{3}\rightarrow H$ Czy we wzorze na $f$ nie powinno byc dodawania modulo 3? $f(a+_{3} b)=O_{(a+_{3}b)\cdot 120^{\circ}}$ Czy mozna tez zapisac tak: $f\':H\rightarrow Z_{3}$ $f(O_{a\cdot 120^{\circ}})=a$, $a\in Z_{3}$ ? b)$Z_{3}$ jest cykliczna, $H$ jest cykliczna, bo ma generator $h=O_{120^{\circ}}$, $H=\lt h \gt$. $h^{1}=O_{120^{\circ}}$ $h^{2}=O_{120^{\circ}}\circ O_{120^{\circ}}=O_{240^{\circ}}$ $h^{3}=O_{120^{\circ}}\circ O_{120^{\circ}}\circ O_{120^{\circ}}=O_{360^{\circ}}=O_{0}=id$ Czyli $H$ ma rzad 3. Z twierdzenia: Kazde dwie grupy cykliczne o takiej samej liczbie elementow sa izomorficzne otrzymujemy, ze $H\cong Z_{3}$. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2018-10-25 16:36:26 przez geometria |
tumor post贸w: 8070 | 2018-10-25 20:17:55 Jest przecie偶 dodawanie modulo 3. :) Jedynie nie ma ma艂ego podpisu pod plusikiem, ale to bez znaczenia. Og贸lnie zapis np. f(a+b)=f(a)+f(b) gdy f jest homomorfizmem z G w H oznacza, 偶e lewy plus jest dzia艂aniem w G, a prawy plus dzia艂aniem w H. Nie ma obowi膮zku stosowa膰 dla nich innych symboli, mo偶na to zrobi膰 dla wygody/czytelno艣ci/dzieci/duch贸w przodk贸w, ale to tylko ozdoba. Matematycznie jest jasne, 偶e zawsze chodzi o dzia艂anie z odpowiedniej grupy. ;) a) oczywi艣cie funkcja odwrotna do izomorfizmu jest izomorfizmem i mo偶na j膮 zapisa膰 tak jak podajesz. |
geometria post贸w: 865 | 2018-10-27 11:48:11 Dla przykladu sprawdze czy sa to homomorfizmy. Bede pisac $+_{3}$, bo jest dla mnie czytelniejsze. Mielismy zdefiniowane $+_{n}$ jako $a+_{n}b=r_{n}(a+b)$. a) np. L$=f(1+_{3}2)=f(r_{3}(1+2))=f(r_{3}(3))=f(0)=O_{0}$ P$=f(1)\circ f(2)=f(2)(f(1))=O_{240^{\circ}}O_{120^{\circ}}=O_{360^{\circ}}=O_{0}$ Czyli L$=$P. Analogicznie bedzie dla pozostalych. Zatem jest to homomorfizm. a2) $f:Z_{3}\rightarrow H$ $f(a)=O_{a\cdot 120^{\circ}}$, $a\in Z_{3}$ Jak $f$ homomorfizm to dla kazdego $a, b\in Z_{3}$ $f(a+_{3}b)=f(a)\circ f(b)$. L$=f(a+_{3}b)=O_{(a+_{3}b)\cdot 120^{\circ}}=?$ nie wiem jak to dalej przeksztalcic P$=f(a)\circ f(b)=f(b)(f(a))=O_{b\cdot 120^{\circ}}O_{a\cdot 120^{\circ}}=?$ tutaj tez nie wiem |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj