Algebra, zadanie nr 5855

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 863	2018-11-15 11:45:49 Twierdzenia (1) Zalozmy, ze $G$ jest grupa cykliczna, skonczona i generowana przez element $a$, $H$ jest dowolna grupa, $b\in H$ oraz $ord(b)$ jest skonczony i dzieli $ord(a)$. Wowczas istnieje dokladnie jeden homomorfizm grup $f:G\rightarrow H$ taki, ze $f(a)=b$. (2) Zalozmy, ze $G$ jest grupa cykliczna, nieskonczona i generowana przez element $a$, $H$ jest dowolna grupa oraz $b\in H$. Wowczas istnieje dokladnie jeden homomorfizm grup $f:G\rightarrow H$ taki, ze $f(a)=b$. --------------------------------------------------------------- Wyznaczyc wszystkie homomorfizmy $f:G\rightarrow H$, gdzie: a) $G=(Z, +)$, $H=(Z_{4}, +_{4})$ Elementy neutralne przechodza na elementy neutralne, czyli $f(0)=0$. $Z_{4}=\{0,1,2,3\}$ $G=Z$ jest cykliczna, nieskonczona i $Z=\lt 1\gt$ oraz $Z=\lt -1\gt$ (czyli twierdzenie (2)) $f(1)=b$, $b\in Z_{4}$ (czyli sa 4 homomorfizmy) Ale rownież: $f(-1)=b$, $b\in Z_{4}$ (czyli sa 4 homomorfizmy). Razem jest ich 8. Dlaczego teraz $f(0)=0$ nie obowiazuje? Czy ta wlasnosc obowiazuje, gdy mamy podany jakis warunek np. $f(3)=1$ tak jak w poprzednich zadaniach?

tumor postów: 8070	2018-11-16 10:04:42 f(0)=0 z pewnością obowiązuje. Gdyby $f(0)=a\neq 0$, to $f(0+0)=a+a=a$ $f(0+0+0)=a+a+a=a$ i tak dalej, czyli rząd elementu $a$ byłby nieskończony, nieważne ile razy dodasz do siebie $a$, zawsze wyjdzie $a$, nigdy 0. A przecież rząd grupy $Z_4$ nie jest nieskończony. :) --- Może być f(1)=0, wtedy f(-1)=0 i ogólnie f(a)=0, to będzie homomorfizm. Może być f(1)=1, wtedy f(-1)=3 (bo $f(0)=f(-1+1)=0=f(-1)+1$) Może być f(1)=2, wtedy f(-1)=2, ogólnie f(a)=2 dla a nieparzystych, f(a)=0 dla a parzystych. Może być f(1)=3, wtedy f(-1)=1. Teraz wypisz mi proszę cztery inne homomorfizmy. :) ------ A z tymi twierdzeniami co robić? Drugie jakby mówi właśnie to, że będą cztery homomorfizmy, które wypisałem.

geometria postów: 863	2018-11-16 10:34:54 Nie bedzie juz wiecej innych homomorfizmow. Sa tylko 4.

geometria postów: 863	2018-11-17 08:09:38 Czyli ostatecznie mozna to zapisac tak: a) $f(-1)=b$, $b\in Z_{4}$ albo $f(1)=b$, $b\in Z_{4}$ albo $f(x)=r_{4}(bx)$, $x\in Z$, $b\in Z_{4}$.

geometria postów: 863	2018-11-17 14:52:19 b) $G=H=(Q, +)$ Grupa $(Q, +)$ nie jest cykliczna. $f(nx)=nf(x)$, $n=1,2,3,...$ $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$, $f(-x)=-f(x)$ Niech $ m\in Z$, $n$ dodatnie. $mf(1)=f(m)=f(n\frac{m}{n})=nf(\frac{m}{n})$ $f(\frac{m}{n})=f(1)\frac{m}{n}$ Niech $x=\frac{m}{n}$, $f(1)=k$, $k\in Q$ Wtedy $f(x)=kx$, $k,x\in Q$. Dobrze?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj