Topologia, zadanie nr 5856

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ollaxd52 postów: 6	2018-11-15 17:53:02 Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną i niech A będzie podzbiorem niepustym X z metryką dziedziczoną. Wykaż, że: a) jeśli U $\subset$ A jest otwarty(domknięty) w X, to jest otwarty(domknięty) w A. b) implikacji z a) nie można odwrócić c) Przypuśćmy, że A jest zbiorem otwartym(domkniętym). Wykaż, że U $\subset$ A jest otwarty(domknięty) w X wtedy i tylko wtedy, gdy U jest otwarty (domknięty) w A.

tumor postów: 8070	2018-11-20 09:03:01 Dość istotne, jakie były definicje (topologie można wprowadzać od różnych stron). a) definicja topologii dziedziczonej mówi zapewne to właśnie, że jest to rodzina przekrojów $U\cap A$, gdzie $U$ jest otwarty w $X$. Jeśli $U\subset A$ i $U$ otwarty w $X$, to oczywiście $U\cap A= U$, będzie to zatem zbiór otwarty w $A$ w sensie topologii dziedziczonej. Jeśli $F\subset A$ i $F$ domknięty w $X$, to $X\backslash F$ otwarty w $X$, $(X\backslash F) \cap A$ otwarty w $A$, no ale $(X\backslash F) \cap A=A\backslash F$, czyli jest to także zbiór otwarty w $A$, a $F$ domknięty w $A$. b) Wystarczy przykład, można uruchomić wyobraźnię. Najprościej $U=(0,1]$ nie jest ani otwarty ani domknięty w $R$ z naturalną metryką. Dla $A=(0,1]$ mamy oczywiście $U\subset A$, przy tym $U$ jest otwarty i domknięty w $A$. c) Wystarczy skorzystać z faktu, że przekrój dwóch zbiorów otwartych jest otwarty, przekrój dwóch domkniętych jest domknięty.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj