Algebra, zadanie nr 5882

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2018-11-27 12:57:38 Niech $f$ bedzie automorfizmem grupy $(Z_{80},+_{80})$. Udowodnic, ze $f(40)=40$. Czyli: $f:(Z_{80},+_{80})\rightarrow (Z_{80},+_{80})$ oraz $f$ to izomorfizm. $f$ jest homomorfizmem zatem elementy tych samych rzedów przechodza na siebie. Ponadto $f(-40)=-f(40)$ (elementem odwrotnym do $x$ wzgledem $+_{80}$ jest $80-x$). Zatem elementem odwrotnym do 40 jest 40. Czy dobre rozumowanie?

tumor postów: 8070	2018-12-02 21:23:05 w homomorfizmie nie wiemy, czy elementy o tych samych rzędach przechodzą na siebie (w szczególności łatwo o kontrprzykład: homomorfizm w którym wszystko przechodzi na element neutralny). W izomorfizmie już wiemy, że f(a) ma ten rząd co a. Zatem f(40) ma na pewno rząd 2, bo 40 ma rząd 2 (no a elementy o rzędzie 2 są, masz rację, odwrotne same do siebie). Za wiele elementów rzędu 2 w tej grupie nie ma. Można szybko rozważyć wszystkie kandydatury.

geometria postów: 865	2018-12-02 21:46:38 Jest tylko jeden element rzedu 2 w tej grupie, czyli element 40. Ale jak pokazac, ze nie ma wiecej?

tumor postów: 8070	2018-12-05 13:31:45 W zasadzie nie budzi wątpliwości, że jeśli dodajemy dwie liczby naturalne mniejsze niż 40, to wynik jest mniejszy niż 80, a jeśli dodajemy dwie liczby naturalne większe niż 40 i mniejsze niż 80, to wynik jest większy niż 80 i mniejszy niż 160. Zapisałbym tę myśl symbolicznie i więcej nie potrzeba.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj