logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 5928

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2019-01-09 17:11:20

Czy dany element jest odwracalny w danym pierscieniu. Jesli tak, to znalezc element odwrotny.

a) $\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix}$ w $M_{2}(Z_{4})$
b) $\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix}$ w $M_{2}(Z)$
c) $105$ w $Z_{351}$
d) $327$ w $Z_{2018}$
e) $2017$ w $Z_{2018}$

Element jest odwracalny w pierscieniu $A$, gdy istnieja takie $a, b\in A$ ,ze $ab=ba=1$ ($=$ elementowi neutralnemu mnozenia w $A$; dla macierzy bedzie to macierz jednostkowa).

Dla macierzy mozna obliczyc jej wyznacznik.

a) $det(\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix})=r_{4}(1\cdot _{4}1-2\cdot _{4}2)=r_{4}(1-0)=r_{4}(1)=1\neq 0$, zatem istnieje element odwracalny (czyli macierz odwrotna do danej), ktora jest dana wzorem $\frac{1}{det(\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix})}\begin{bmatrix} 1&2^{-1}\\2^{-1}&1\end{bmatrix}$, gdzie $2^{-1}$ to element odwrotny do $2$, czyli w $Z_4$
elementem odwrotnym do $2$ jest $(4-2)=2$.
Czyli $\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix}$.

b) $det(\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix})=1-4=-3\neq 0$, ale macierz odwrotna bylaby ze wspolczynnikiem $-\frac{1}{3}$ tylko $-\frac{1}{3}\notin Z$.
Zatem macierz ta nie jest elementem odwracalnym w pierscieniu $Z$.

Gdyby to byl zbior $Q$ lub $R$ to macierz ta bylaby wtedy odwracalna.

Dobrze to rozumiem?



tumor
postów: 8070
2019-01-09 22:23:30

a) elementem odwrotnym nazywamy raczej ten, który jest związany z elementem neutralnym mnożenia.
2 jest przeciwne do 2 (bo w sensie dodawania).
W pierścieniu $Z_4$ element 2 odwracalny nie jest.

b) zgadza się - macierz odwrotna nie istnieje, choć byłbym ostrożny ze stosowaniem wzorów. Można argumentować prościej: nie może być odwracalna macierz o wyznaczniku różnym od $\pm 1$ (tw. Cauchy'ego o wyznaczniku iloczynu)


geometria
postów: 863
2019-01-10 12:08:08

b) W tw. Cauchy'ego o wyznaczniku iloczynu zachodzi wzor $det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)$.

$A=\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix}$; $det(A)=-3$
Jaka jest macierz $B$?
-----------------------------------------------------
Czy mozna uzasadnic rowniez tak, ze $det(A)=-3$, ale liczba $-3$ nie jest elementem odwracalnym w pierscieniu $Z$, wiec nie ma elementu odwrotnego. Zatem macierz $A=\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix}$ nie jest odwracalna?

Wiadomość była modyfikowana 2019-01-10 14:56:19 przez geometria

geometria
postów: 863
2019-01-10 13:29:26



Wiadomość była modyfikowana 2019-01-10 14:54:33 przez geometria

geometria
postów: 863
2019-01-10 15:30:51

b') $C=\begin{bmatrix} 1&1\\1&4\end{bmatrix}$ w $M_{2}(Z_{8})$

1. Obliczam wyznacznik macierzy $C$.
$det(C)=r_{8}(1\cdot _{8}4-1\cdot _{8}1)=r_{8}(4-1)=r_{8}(3)=3$
$3$ jest elementem odwracalnym w pierscieniu $Z_{8}$, czyli ma element odwrotny.

2. Obliczam wyznacznik odwrotny, czyli $(det(C))^{-1}$.
Element odwrotny do $3$ to tez $3$, bo $3\cdot _{8}3=r_{8}(9)=1$.
Czyli $(det(C))^{-1}=3^{-1}=3$.
3. Obliczam macierz odwrotna ze wzoru $\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=(det\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix})^{-1}\begin{bmatrix} d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$, gdzie $-b$, $-c$ to elementy przeciwne do elementow $b$ i $c$ odpowiednio.

Czyli elementem przeciwnym do $1$ w pierscieniu $Z_{8}$ jest $7$, bo $(8-1)=7$.
$C^{-1}=3\begin{bmatrix} 4&7\\7&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} r_{8}(12)&r_{8}(21)\\r_{8}(21)&r_{8}(3)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4&5\\5&3\end{bmatrix}$.

Czy dobrze?


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj