Analiza matematyczna, zadanie nr 5974

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kapec postów: 1	2019-02-08 19:11:28 Cześć, jest ktoś w stanie pomóc z taką granicą? $\lim_{x \to \infty}$$\sqrt{1+2+3+...+n+(n+1)}$-$\sqrt{1+2+3+...+n}$ Z góry dziękuję. Wiadomość była modyfikowana 2019-02-08 19:17:03 przez kapec

chiacynt postów: 749	2019-02-14 14:07:50 Zamieniamy sumy pod pierwiastkami na sumy ciągów arytmetycznych: $ \sqrt{1+2+3+...+n+(n+1)}= \sqrt{\frac{1+n+1}{2}(n+1)}= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{n^2+3 n +2},$ $ \sqrt{1+2+3+...+n}= \sqrt{\frac{1+n}{2} n }= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{n^2+ n}.$ Stąd $ \lim_{n\to\infty} (\sqrt{1+2+3+...+n+(n+1)}- \sqrt{1+2+3+...+n}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\lim_{n\to \infty}(\sqrt{n^2+3x+2}- \sqrt{n^2+n}).$ Z tożsamości: $ a- b= \frac{a^2-b^2}{a+b}$ $ \lim_{n\to\infty} (\sqrt{1+2+3+...+n+(n+1)}- \sqrt{1+2+3+...+n}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\lim_{n\to \infty}\frac{n^2+3n +2-n^2 -n}{\sqrt{n^2+3n+2}+\sqrt{n^2+n}}$ $ \lim_{n\to\infty}(\sqrt{1+2+3+...+n+(n+1)}- \sqrt{1+2+3+...+n}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\lim_{n\to \infty}\frac{n(2 +\frac{2}{n})}{n\sqrt{1 +\frac{3}{n}+\frac{2}{n}}- \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{2}= \frac{1}{\sqrt{2}}.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj