Matematyka dyskretna, zadanie nr 5990

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
maher postów: 2	2019-03-10 15:20:57 Nietypowe zadanie: Napisać historyjkę kombinatoryczną wykazującą równość: $\sum_{k=1}^{n} (2k)^2 = {2n+2\choose 3}$

chiacynt postów: 749	2019-03-10 20:45:21 $\sum_{k=1}^{n}(2k)^2= {2n+2\choose 3} (1)$ Prawa równości. Wybieramy$ 3$ liczby spośród $ 2n+2 $ liczb. Istnieje $ {2n+2\choose 3} $ sposobów wyboru trzech liczb ze zbioru liczb $ \{1,2,3,...,2n+2 \}.$ Lewa strona równości. Wybór trzech możemy przeprowadzić w inny sposób. Wybieramy dwie liczby największe $ 2k+1,$ lub $ 2k+2.$ Jeżeli wybraliśmy liczbę $ 2k+1,$ to pozostałe dwie liczby wybieramy na $ {2k\choose 2} $ sposoby. Jeśli zaś wybraliśmy liczbę $ 2k+2, $ to pozostałe dwie możemy wybrać na $ {2k+1\choose 2}$ sposoby. Liczba wszystkich sposobów wyboru trzech liczb jest równa $ \frac{(2k)(2k-1)}{2} + \frac{(2k+1)(2k)}{2} = (2k)^2.$ dla $ k = 1,2,...,n. $ Otrzymaliśmy więc sumę wszystkich możliwych sposobów wyboru trójki liczb: $ 2^2 +4^2 + 6^2 + ...+ (2n)^2, $ co odpowiada lewej stronie równości. W ten sposób udowodniliśmy równość $ (1).$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj