Analiza matematyczna, zadanie nr 60

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
raczka1991 postów: 34	2010-11-13 14:24:34 Obliczyć granice ciągów: $a_n=(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2}) ...(1-\frac{1}{n^2})$

azonips postów: 3	2010-11-16 09:00:40 Jest to ciąg malejący liczb dodatnich, więc granica na pewno istnieje, oznaczmy ją przez $g$. Poszukajmy granicy ciągu: $b_n=\ln a_n$, wtedy: $b_n=\ln\left(\prod_{k=2}^{n}\frac{k^2-1}{k^2}\right)=$ $=\sum_{k=2}^{n}\ln\left(\frac{k^2-1}{k^2}\right)=$ $=\sum_{k=2}^{n}\left(\ln (k^2-1)-\ln k^2\right)=$ $=\sum_{k=2}^{n}\ln((k-1)(k+1))-2\sum_{k=2}^{n}\ln k=$ $=\sum_{k=2}^{n}\ln(k-1)+\sum_{k=2}^{n}\ln(k+1)-2\sum_{k=2}^{n}\ln k=$ $=\sum_{k=1}^{n-1}\ln k+\sum_{k=3}^{n+1}\ln k-2\sum_{k=2}^{n}\ln k=$ $=\ln 1-\ln 2-\ln n+\ln (n+1)=-\ln 2+\ln\left(\frac{n+1}{n}\right) $ Ostatnie wyrażenie dąży, jak łatwo zobaczyć do $\ln\frac{1}{2}$, a więc $\ln(g)=\ln\left(\frac{1}{2}\right)$, skąd $g=\frac{1}{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj