Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 6184
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| aneta30 postów: 22 |  2020-04-15 19:10:50Proszę o pomoc Rozwiąż równanie różniczkowe liniowe rzędu I y' + (y/x) = e^x |
| chiacynt postów: 749 | 2020-04-15 21:22:16 $ y' +\frac{y}{x} = e^{x}$ Całka ogólna równania jednorodnego $ y' + \frac{y}{x} = 0 $ $ \frac{y}{x} = 0$ $ \frac{y}{x} = u, \ \ y = x\cdot u, \ \ y' = u + x\cdot u' $ $ u + x\cdot u' +u = 0 $ $ x\cdot u' = -2u $ $ \frac{du}{u} = -2\frac{1}{x} dx $ $ln|u| = - 2\ln|x| + A = ln|x|^{-2} + A $ $ u(x) = e^{ln|x|^{-2} + A} $ $ u(x) = \frac{C}{x^2} $ $ y(x) = x\cdot \frac{C}{x^2} = \frac{C}{x} $ Metoda uzmiennienia stałej $ y(x) = \frac{C(x)}{x} $ $ y'(x) = C'(x)\cdot \frac{1}{x}- \frac{C(x)}{x^2} $ Podstawiamy do równania wyjściowego $ C'(x)\cdot \frac{1}{x} -\frac{C(x)}{x^2} + \frac{C(x)}{x^2}= e^{x} $ $ C'(x) = xe^{x} $ Całkujemy przez części $ C(x) = \int x\cdot e^{x}dx = \int x\cdot (e^{x})'dx = x\cdot e^{x}- \int 1\cdot e^{x}dx = x\cdot e^{x} - e^{x} + D $ Całka ogólna równania niejednorodnego $ y(x) = e^{x} - \frac{1}{x}e^{x} + \frac{D}{x}. $ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj