Algebra, zadanie nr 6190

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
olikacz postów: 23	2020-04-18 11:13:32 Udowodnij, że zbiór Aut(G) wszystkich automorfizmów grupy G jest grupą ze składaniem.

chiacynt postów: 749	2020-04-18 13:24:46 Niech $ G $ będzie grupą. Definicja automorfizmu grupy: $ Aut(G) = \{ f: G \rightarrow G \| f \ \ jest \ \ izomorfizmem\} $ Przyjmując, że funkcje $ f, g \in Aut(G), $ rozpatrujemy złożenie funkcji$ "\circ" $ jako działanie grupowe. Proszę sprawdzić, czy para $ (Aut(G) \circ)jest grupą- $ spełnia wszystkie aksjomaty grupy. Po pierwsze czy $ g\circ f \in Aut(G)? $ Po drugie -łączność działania $"\circ" $ Po trzecie - istnienie elementu neutralnego działania $"\circ"$ Po czwarte -istnienie elementu $f^{-1}.$ Po piąte, czy działanie $ "\circ" $ jest przemienne tzn. czy mamy w tym przypadku grupę abelową?

olikacz postów: 23	2020-04-18 16:21:08 @chiacynt Możesz rzucić okiem czy zrobiłam to dobrze? Niech G będzie grupą. Zgodnie z definicją: Aut(g)={$f:G\rightarrow G\|f $jest izomorfizmem G} Biorąc dwa automorfizmy $f,g\in Aut(G)$ możemy rozpatrywać złożenie $ g\circ f$. Sprawdzamy czy $ (Aut(G),\circ) $ jest grupą rozpatrując wszystkie aksjomaty. Musimy wykazać, że $ g\circ f$ jest automorfizmem, tj. homomorfizmem, który jest bijektywny. $ (g\circ f)(ab)=g(f(ab))=g(f(a)f(b))=(g(f(a))g(f(b))=(g\circ f)(a)(g\circ f)(b) $ dla wszystkich $ a,b\in G.$ Stąd $ g\circ f $ jest grupą homomorficzną. Po drugie musimy pokazać, że działanie $ \circ $ jest łączne, tj. $ (h\circ g)\circ f= h\circ (g\circ f) $. $ (h\circ g)\circ f(a)= h(g\circ f(a))=h(g(f(a))=h\circ g(f(a))=h\circ (g\circ f)(a) $ dla wszystkich $ a\in G $. Sprawdzamy czy istnieje element neutralny dla $ \circ $. $ Id_{G} :G\rightarrow G: a\rightarrow a $ jest automorfizmem. Skoro $ f\circ Id_{G} = Id_{G} \circ f $ dla wszystkich Aut(G), $ Id_{G} $ jest elementem neutralnym.

olikacz postów: 23	2020-04-18 16:25:09 Po czwarte sprawdzamy, czy każdy $ f\in Aut(G) $ ma odwrotność dla $ \circ $. Wyraźnie $ f^{-1} \circ f= Id_{G} =f\circ f^{-1} $

chiacynt postów: 749	2020-04-18 16:51:42 Wszystko poprawnie, brakuje w czwartym punkcie sprawdzenia, że $ f^{-1} $ jest grupowym morfizmem: $ f^{-1}(xy)= f^{-1}(f(x) f(y)) = f^{-1}(f(xy)) = xy$ Stąd $ f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y).$

olikacz postów: 23	2020-04-18 16:55:41 Dziękuję bardzo :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj