logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 6190

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mathelp
postów: 23
2020-04-18 11:13:32

Udowodnij, że zbiór Aut(G) wszystkich automorfizmów grupy G jest grupą ze składaniem.


chiacynt
postów: 749
2020-04-18 13:24:46

Niech $ G $ będzie grupą.

Definicja automorfizmu grupy:

$ Aut(G) = \{ f: G \rightarrow G | f \ \ jest \ \ izomorfizmem\} $

Przyjmując, że funkcje $ f, g \in Aut(G), $ rozpatrujemy złożenie funkcji$ "\circ" $ jako działanie grupowe.

Proszę sprawdzić, czy para $ (Aut(G) \circ)jest grupą- $ spełnia wszystkie aksjomaty grupy.

Po pierwsze czy $ g\circ f \in Aut(G)? $

Po drugie -łączność działania $"\circ" $

Po trzecie - istnienie elementu neutralnego działania $"\circ"$

Po czwarte -istnienie elementu $f^{-1}.$

Po piąte, czy działanie $ "\circ" $ jest przemienne tzn. czy mamy w tym przypadku grupę abelową?







mathelp
postów: 23
2020-04-18 16:21:08

@chiacynt Możesz rzucić okiem czy zrobiłam to dobrze?

Niech G będzie grupą. Zgodnie z definicją:
Aut(g)={$f:G\rightarrow G|f $jest izomorfizmem G}
Biorąc dwa automorfizmy $f,g\in Aut(G)$ możemy rozpatrywać złożenie $ g\circ f$.
Sprawdzamy czy $ (Aut(G),\circ) $ jest grupą rozpatrując wszystkie aksjomaty.

Musimy wykazać, że $ g\circ f$ jest automorfizmem, tj. homomorfizmem, który jest bijektywny.
$ (g\circ f)(ab)=g(f(ab))=g(f(a)f(b))=(g(f(a))g(f(b))=(g\circ f)(a)(g\circ f)(b) $ dla wszystkich $ a,b\in G.$
Stąd $ g\circ f $ jest grupą homomorficzną.

Po drugie musimy pokazać, że działanie $ \circ $ jest łączne, tj. $ (h\circ g)\circ f= h\circ (g\circ f) $.
$ (h\circ g)\circ f(a)= h(g\circ f(a))=h(g(f(a))=h\circ g(f(a))=h\circ (g\circ f)(a) $ dla wszystkich $ a\in G $.

Sprawdzamy czy istnieje element neutralny dla $ \circ $.
$ Id_{G} :G\rightarrow G: a\rightarrow a $ jest automorfizmem. Skoro $ f\circ Id_{G} = Id_{G} \circ f $ dla wszystkich Aut(G), $ Id_{G} $ jest elementem neutralnym.


mathelp
postów: 23
2020-04-18 16:25:09

Po czwarte sprawdzamy, czy każdy $ f\in Aut(G) $ ma odwrotność dla $ \circ $.
Wyraźnie $ f^{-1} \circ f= Id_{G} =f\circ f^{-1} $


chiacynt
postów: 749
2020-04-18 16:51:42

Wszystko poprawnie, brakuje w czwartym punkcie sprawdzenia, że $ f^{-1} $ jest grupowym morfizmem:

$ f^{-1}(xy)= f^{-1}(f(x) f(y)) = f^{-1}(f(xy)) = xy$

Stąd

$ f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y).$


mathelp
postów: 23
2020-04-18 16:55:41

Dziękuję bardzo :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj