Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 6210

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
aneta30 postów: 22	2020-04-25 13:53:36 Proszę o pomoc w zdaniu Wyznaczyć całkę ogólną/szczególną równania początkowego : y'' - 3y' - 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2

chiacynt postów: 749	2020-04-25 14:26:01 $ y^{"} - 3y^{'} - 4y = 0, \ \ y(0) = 1, y^{'}(0)= 2.$ Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego-jednorodne. Postać ogólna rozwiązania $ y = e^{\lambda x}, \ \ \lambda \in R $ Obliczamy pochodne pierwszego i drugiego rzędu $ y^{'} = \lambda e^{\lambda x} $ $ y^{"} = \lambda^2 e^{\lambda x} $ Podstawiamy pochodne i postać ogólną rozwiązania do równania, otrzymując równanie charakterystyczne $ \lambda^2 e^{\lambda x} - 3 \lambda e^{\lambda x} -4e^{\lambda x} = 0 $ $ (\lambda^2 - 3\lambda - 4)e^{\lambda x} = 0 $ $ \lambda^2 -3\lambda - 4 = 0 $ $ \Delta = (-3)^2 -4\cdot 1\cdot (-4) = 25.$ $ \lambda_{1} = \frac{3 -5}{2} = -1 $ $ \lambda_{2} = \frac{3+5}{2} = 4.$ Rozwiązanie ogólne (całka ogólna) równania $ y = a\cdot e^{-1x} + b\cdot e^{4x} \ \ (1) $ Do wyznaczenia rozwiązania szczególnego (całki szczególnej) równania uwzględniamy warunki początkowe: $ y(0) = a e^{-1\cdot 0} +be^{4\cdot 0}= 1 \ \ (2)$ $ y'(0) = -a e^{-1\cdot 0} + 4be^{4\cdot 0} = 2 \ \ (3) $ Z $ (2), (3) $ $ a + b = 1 $ $-a +4b = 2$ Rozwiązując ten układ równań $ 5b = 3, \ \ b =\frac{3}{5} $ $ a = 1 - b = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} $ Rozwiązanie szczególne (całka szczególna) równania $ y_{s} = \frac{2}{5}e^{-x} + \frac{3}{5}e^{4x}. $

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj