logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 6211

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

aneta30
postów: 22
2020-04-25 13:54:42

Potrzebuje pomocy
Wyznaczyć całkę ogólną/szczególną równania początkowego :
y'' - 2y' + 2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0


chiacynt
postów: 749
2020-05-02 10:56:29


$ y^{"} -2y^{'}+2y = 0 $

$ y(0)= 1, \ \ y'(0)= 0.$

Równanie charakterystyczne

$ r^2 + 2r + 2 = 0 $ ma dwa pierwiastki zespolone sprzężone

$ r_{1} = -1 - i, \ \ r_{2} = -1 + i. $

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

$ y = e^{-x}[C_{1}\cos(x) + C_{2}\sin(x)] \ \ (1) $

W celu znalezienia rozwiązania szczególnego obliczamy pochodną pierwszego rzędu

$ y^{'} = -e^{-x}[C_{1}\cos(x)+ C_{2}\sin(x)] + e^{-x}[-C_{1}\sin(x) + C_{2}\cos(x)] = e^{-x}[(C_{2}- C_{1})\cos(x) - (C_{2}- C_{1})\sin(x)] \ \ (2) $

Podstawiamy warunki początkowe kolejno do $ (1), (2) $

$ e^{0}[C_{1}\cos(0) + C_{2}\sin(0)] = 1 $

$ e^{0}[ C_{2}- C_{1})\cos(0) - (C_{2}-C_{1})\sin(0)]= 0 $

$ C_{1}= 1,$

$ C_{2}- C_{1} = 0 $

$ C_{1} = C_{2} = 1. $

Rozwiązanie szczególne równania różniczkowego jednorodnego

$ y_{s} = e^{-x}[\cos(x) + \sin(x)] $


chiacynt
postów: 749
2020-05-02 11:17:47

Sprawdzenie otrzymanego rozwiązania

$ y = e^{-x}[\cos(x) +\sin(x)]$

Obliczamy pochodne pierwszego i drugiego rzędu

$ y^{'}= -e^{-x}[\cos(x) + \sin(x)] + e^{-x}[-\sin(x)+\cos(x)]= -e^{-x}\cos(x) -e^{-x}\sin(x)-e^{-x}\sin(x)+e^{-x}\cos(x)= -2e^{-x}\sin(x)$

$ y^{"}= 2e^{-x}\sin(x)-2e^{-x}\cos(x). $

Podstawiamy do równania $ y^{"}, y^{'}, y $

$2e^{-x}\sin(x) -2e^{-x}\cos(x)-4e^{-x}\sin(x)+2e^{-x}\cos(x)+2e^{-x}\sin(x) = 0, $

co mieliśmy sprawdzić.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj