Probabilistyka, zadanie nr 6222

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dzbanzmatmy postów: 6	2020-04-30 22:44:28 Dla X$\sim$ Pios$(\lambda)$ znaleźć E[X!] =$1\cdot2\cdot$...$\cdot$ X oraz X<$\infty$. Rozważyć przypadki na różne wartości $\lambda$. Wiadomość była modyfikowana 2020-05-01 20:22:09 przez dzbanzmatmy

chiacynt postów: 749	2020-05-01 09:17:06 Proszę skorzystać z edytora LateX i czytelnie przepisać treść zadania.

dzbanzmatmy postów: 6	2020-05-01 16:42:21 Wiadomość była modyfikowana 2020-05-01 20:21:53 przez dzbanzmatmy

chiacynt postów: 749	2020-05-01 20:44:10 $ k = 1 $ $ E(X) = \sum_{k=0}^{\infty}k\cdot \frac{\lambda^{n}}{n!}e^{-\lambda} =\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} =\lambda e^{\lambda}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\lambda^{r}}{r!} = \lambda e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda} = \lambda.$ $ k = n $ $E(X!) = E(X\cdot (X-1)\cdot (X-2)\cdot ...\cdot (X-n-k+1)\cdot ...\cdot 1) = \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1)(n-2)\cdot ...\cdot(n-k+1)\cdot ... \cdot 1)\frac{\lambda^{n}}{n^!}e^{-\lambda}$ $E(X!)=e^{-\lambda}\lambda^{n}\sum_{k=n}^{\infty}\frac{\lambda^{k-n}}{(k-n)!} = \lambda^{n} \cdot e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}= \lambda^{n}. $ Jeżeli $ \lambda = \lambda_{i} $ dla $ i = 1,2,...,n, $ to rozumując identycznie, dowodzi się, że $ E(X!) = \lambda_{1}\cdot \lambda_{2}\cdot ...\cdot \lambda_{n} = \bigcap_{i=1}^{n}\lambda_{i}.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj