logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 6238

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

wiktoria123456
postów: 16
2020-05-05 22:09:31

Oblicz pochodną kierunkową w pkt.(0,0) w kierunku dowolnego wektora

$\left\{\begin{matrix} \frac{ln(1+x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} dla (x,y)\neq(0,0)\\ 0 {(x,y)=(0,0) }\end{matrix}\right.$


chiacynt
postów: 749
2020-05-06 08:23:08

$ f(x,y) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}} \ \ \mbox{dla} \ \ (x,y) \neq (0, 0) \\
0 \ \ \mbox{dla} \ \ (x,y) = (0,0) \end{cases} $

$ \vec{h} = [h_{x}, h_{y}]. $

Z definicji pochodnej kierunkowej w punkcie $ (0,0) $ w kierunku wektora $ \vec{h}$

$ f'_{\vec{h}}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0 +th_{x}, 0 + th_{y}) - f(0,0)}{t} $

$ f'_{\vec{h}}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t^2 h^2_{x} + t^2 h^2_{y}) - 0}{t \sqrt{t^2 h^2_{x} + t^2 h^2_{y}}} = \lim_{t\to 0} \frac{\ln(1 + t^2(h^2_{x} +h^2_{y}))}{t^2\sqrt{h^2_{x}+h^2_{y}}} $

$ \sqrt{h^2_{x} + h^2_{y}} = |\vec{h}|.$

$f^{'}_{\vec{h}}(0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{\ln(1 + t^2|\vec{h}|^2)}{t^2|\vec{h}|} = \left[\frac{0}{0}\right]H = \lim_{t\to 0} \frac{1\cdot 2t|\vec{h}|^2}{(1+ t^2|\vec{h}|^2)\cdot 2t|\vec{h}|} = \lim_{t\to 0}\frac{|\vec{h}|}{1 + t^2|\vec{h}|^2} = |\vec{h}|. $





strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj