logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 6243

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

aple32
postów: 8
2020-05-08 14:46:58

Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi 0x wykresu funkcji f(x)=$\frac{3}{\sqrt{x^{2}-x+1}}$ $x\in(-\infty,0]$


chiacynt
postów: 749
2020-05-08 16:33:09

$|V| = \pi \int_{-\infty}^{0}\frac{9}{x^2 -x+1}dx =...$


chiacynt
postów: 749
2020-05-09 11:57:23

$ |V| = 9\pi \int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{x^2+x+ 1} $

Sprowadzamy obliczenie całki do całki z arkusa tangensa. W tym celu trójmian kwadratowy sprowadzamy do postaci kanonicznej

$|V| = 9\pi\int_{-\infty}^{0} \frac{dx}{\left( x- \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}}$

Wyłączamy w mianowniku funkcji podcałkowej ułamek $ \frac{3}{4} $ przed znak całki

$ |V|= 12\pi \int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{\left(\frac{2x -1}{\sqrt{3}}\right)^2 +1}$

Stosujemy podstawienie

$\frac{2x -1}{\sqrt{3}} = y $


$ dx =\frac{\sqrt{3}}{2}dy $

$ \begin{matrix} x & -\infty & 0 \\ \hline
y & -\infty & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \hline \end{matrix}$


$ |V|= 6\pi\sqrt{3}\int_{-\infty}^{-\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{dy}{1 + y^2} = 6\pi \arctan(y) \mid_{-\infty}^{-\frac{1}{\sqrt{3}}} = -6\pi\cdot \frac{\pi}{6}\sqrt{3} + 6\pi\cdot \frac{\pi}{2}\sqrt{3} = -\pi^2\sqrt{3}+3\pi^2\sqrt{3}= 2\pi^2\sqrt{3}. $


aple32
postów: 8
2020-05-09 17:04:15

Bardzo dziękuję za pomoc!:)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj