logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 6276

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mathelp
postów: 23
2020-05-18 10:25:42

Pokaż, że jeśli ciąg $(f_{n})_{n\in N}$ funkcji ciągłych na [a,b] jest zbieżny jednostajnie na tym zbiorze do funkcji f, to
$\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x)dx = \int_{a}^{b} f(x)dx $


chiacynt
postów: 749
2020-05-18 15:55:33

Dowód

Przedział$ [a, b] $ jest zbiorem ograniczonym, zwartym więc ciąg funkcji ciągłych $ (f_{n})_{n\in N} $ jest na tym zbiorze ograniczony.
To stwierdzenie nie jest przedmiotem dowodu, ale wypadało by to pokazać.

Z definicji jednostajnej ciągłości wynika, że istnieje taka liczba $ \varepsilon > 0, $ i takie $ N(\varepsilon), $ że zachodzą nierówności

$ f_{n} - \frac{\varepsilon}{4(b-a)} \leq f(x) \leq f_{n} + \frac{\varepsilon}{4(b-a)}$ dla każdego $ x\in [a, b] $ i $ n\geq N.$

Z tego wynika, że dla każdego $ n\geq N $ i podziału $ P $przedziału $ [a, b] $ spełnione są nierówności

$ \underline{S}(f_{n}, P)-\frac{\varepsilon}{4} \leq \underline{S}( f, P) \leq \overline{S}(f, P) \leq \overline{S}(f_{n}, P) + \frac{\varepsilon}{4} $

Stąd

$ \overline{S}(f, P) - \underline{S}( f, P) \leq \overline{S}(f_{n}, P)- \underline{S}(f_{n}, P) + \frac{\varepsilon}{2} $

Funkcje $ f_{n}(t) $ są całkowalne więc

$ |f_{n}(t) - f(t)| \leq \frac4{\varepsilon}{(b-a)}$ dla $ n\geq N $ i każdego $ t\in R.$

$ \left |\int_{a}^{b} f_{n}dt - \int_{a}^{b} f(t) \right|\leq \int_{a}^{b} |f_{n} - f(t)|dt \leq \frac{\varepsilon}{4}, $

a to oznacza

$ \lim_{n\to \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(t) dt = \int_{a}^{b} f(t)dt.$

c.b.d.o.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj