Probabilistyka, zadanie nr 6279

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
lovegood postów: 7	2020-05-18 18:49:22 Niech ($\Omega$, F, Pr) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech $ X_1,X_2, \ldots ,X_n, \ldots $ bedą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie Pr ($\omega$;$X_i(\omega) = 1) = p$, Pr($\omega;X_i(\omega) = 0) = 1-p$ dla $i \in \{1, 2, . . . , n\}.$ Przez $X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ oznaczamy zmienną losową daną wzorem $X(\omega) = \sum_{k=1}^\infty \frac{X_k(\omega)}{2^k}$. Pokaż, że jeśli $p \neq \frac{1}{2}$ to rozkład zmiennej losowej X jest osobliwy. Wiadomość była modyfikowana 2020-05-18 19:03:55 przez lovegood

chiacynt postów: 749	2020-05-18 21:40:51 Zmienna losowa $ Y $ ma rozkład osobliwy (singularny) jeśli jej dystrybuanta jest funkcją ciągłą i istnieje taki podzbiór $ A\subset R $, że miara Lebesque'a na tym zbiorze $ \lambda(A) = 0 $ W naszym przypadku jeśli zmienne losowe $ X_{1}, X_{2},...,X_{n},... $ są zmiennymi niezależnymi takimi, że $ P(X_{k} =1) = p \neq \frac{1}{2}$ Wtedy zmienna losowa $ X = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{X_{k}}{2^{k}} $ ma rozkład osobliwy czyli singularny. Dowód Dla dowolnej liczby $ \alpha \in [0, 1], \ \ P(X = \alpha) = 0,$ więc dystrybuanta $ F(\alpha) = P(X<\alpha) $ jest funkcją ciągłą. Z Mocnego Prawa Wielkich Liczb (MPWL) wynika że $ P\left(\lim_{k\to\infty} \frac{X_{1}+X_{2}+ ...+X_{k}}{k} = p \right) = 1\neq \frac{1}{2} $. Zmienna losowa $ X $ przyjmuje wartość ze zbioru dopełnienia liczb normalnych podstawie $ 2 $ do przedziału $ [0, 1 ] $, którego miara Lebesque'a $ \lambda(A) = 0.$ Tym samym wykazaliśmy, że zmienna losowa $ X $ jest osobliwa (inaczej o rozkładzie osobliwym), bo jej rozkład skupiony jest na nieprzeliczalnym zbiorze o długości 0 (na dopełnieniu zbioru liczb normalnych o podstawie $ 2 $), tzn. prawdopodobieństwo tego, że zmienna ta przyjmuje wartości z tego zbioru, wynosi $ 1, $ przy czym $P(X = x) = 0 $ dla każdego $ x \in R.$

lovegood postów: 7	2020-05-24 12:38:26 Dziękuję bardzo za pomoc!!!

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj