logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 6295

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mathelp
postów: 23
2020-05-21 14:53:17

Sprawdź czy na każdej przestrzeni metrycznej (T,d) metryka $ d:T^{2}\rightarrow R$ jest funkcją ciągłą.


chiacynt
postów: 749
2020-05-21 17:09:18

W przestrzeni $ R $ jest funkcją ciągłą. Proszę skorzystać z definicji metryki $ d $ i definicji $ \epsilon,\delta $ Cauchy'ego ciągłości funkcji.

Wiadomość była modyfikowana 2020-05-21 17:10:03 przez chiacynt

mathelp
postów: 23
2020-05-23 14:23:48

Jest dobrze?
Przestrzeń jest metryczna, więc $T \times T$ jest Hausdorffa i przeliczalna. To znaczy, że odwzorowanie $f $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy $({a_{n}})_{n}$ jest zbieżne do a, wtedy $f(a_{n})\rightarrow f(a)$.
Rozważmy funkcję $f=d$ i ciąg $(a_{n},b_{n})$ zbieżne z (a,b). Przyjmujemy $\epsilon >0$. Wtedy istnieje N>0 dla którego:
$|d(a_{n},b_{n})-d(a,b)|< \epsilon$ dla $n\ge N$.
Wtedy:
$ |f(a_{n},b_{n})-f(a,b)|< \epsilon$ dla $n\ge N$.
Zatem $f(a_{n},b_{n})\rightarrow f(a,b)$ a to znaczy, że f=d jest ciągła na $T\times T$


chiacynt
postów: 749
2020-05-23 16:07:11

Dobrze.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj