Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 6299

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
arbuz postów: 1	2020-05-23 16:35:19 Całki podwójne- zamiana zmiennych: 1. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi : $xy=\frac{a^{2}}{2}$ , $xy=2a^{2}$ , $y=\frac{x}{2}$ , y=2x Wprowadzić nowe zmienne xy=u i y=vx 2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą: $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ Wiadomość była modyfikowana 2020-05-23 16:36:06 przez arbuz

chiacynt postów: 749	2020-05-23 18:49:44 Zadanie 1 $ D: \begin{cases} xy =\frac{1}{2}a^2 \\ xy = 2a^2 \\ y = \frac{1}{2}x \\ y = 2x \end{cases} $ Rysunek obszaru $ D. $ Proszę przypomnieć sobie twierdzenie o zamianie zmiennych dla całek podwójnych. Chcąc obliczyć całkę za pomocą tego twierdzenia należy dobrać odwzorowanie $ f $ i obszar $ \Delta $ tak, aby spełniały jego założenia. W tym przykładzie tak można dobrać obszar $ D, $ aby obszar $ \Delta $ był prostokątem. W tym celu wprowadzamy nowe zmienne $ (u, v) $ takie, że $ \begin{cases} u = xy \\ v =\frac{y}{x} \end{cases} \ \ () $ Z określenia obszaru $ D $ wynika, że jezeli $ x, y \in \overline{D}, $ to $ u, v \in \overline{\Delta} = \{ (u, v) \in R^2: \frac{1}{2}a^2 \leq u \leq 2a^2, \ \ \frac{1}{2} \leq v \leq 2 \}.$ Obliczając z układu $ () $ zmienne $(x,y) $ otrzymujemy $ \begin{cases} x = \sqrt{\frac{u}{v}} \\ y = \sqrt{u\cdot v} \end{cases}() $ Równości $ () $ określają odwzorowanie $ f $ domknięcia $ \overline{\Delta} $ obszaru $ \Delta $ na domknięcie $ \overline{D} $ obszaru $ D. $ $ f: R^2 \supset \overline{\Delta} \rightarrow \overline{D}\subset R^2 $ czyli $ f(u,v) = (f_{1}(u,v), f_{2}(u,v) ) $ gdzie $ f_{1}(u,v)= \sqrt{\frac{u}{v}}, \ \ f_{2}(u,v) = \sqrt{u\cdot v} $ Z równości $ () $ wynika, że odwzorowanie $ f $ jest owzorowaniem bijektywnym obszaru $ \Delta $ na obszar $ D. $ Proszę sprawdzić czy jakobian $ det(f'(u,v)= J(u,v) \neq 0 $ w obszarze $ \Delta. $ Odpowiedź $J(u,v) = \frac{1}{2v} \neq 0 $ w $ \Delta $ Oznacza to , że odwzorowanie $ f$ określone wzorem$ ()$ spełnia założenia twierdzenia o zamianie zmiennych. Stąd $ \|D\| = \iint_{(D)}dx dy = \iint_{(\Delta)}J(u,v) du dv = \int_{\frac{1}{2}a^2}^{2a^2}du \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{1}{2v}dv = ...$ Zadanie 2 I sposób Zamiana zmiennych $ x = a r\cos^3(\phi),\ \ y = a r\sin^{3}(\phi)$ II sposób $ x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}= u, \ \ , v = \frac{y}{x}.$ Wiadomość była modyfikowana 2020-05-23 18:59:55 przez chiacynt

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj