Statystyka, zadanie nr 6321

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dzbanzmatmy postów: 6	2020-05-30 22:42:25 Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkłady normalne: $X\sim N(0,1), Y \sim N(0,1)$ Znaleźć rozkład zmiennej losowej $Z= (X-Y, X+Y)$. [Wskazówka: wykorzystaj fakt, ze suma zmiennych losowych o rozkładzie normalnym ma rozkład normalny;tak samo różnica.] Wiadomość była modyfikowana 2020-05-30 22:44:43 przez dzbanzmatmy

chiacynt postów: 749	2020-05-30 23:50:22 Brak czytelnego zapisu zadania w edytorze LateX. a) $ X\sim \mathcal{N}(0,1), \ \ Y\sim \mathcal{N}(0,1) $ Proszę znaleźć rozkład łączny zmiennej losowej $ Z = (X -Y, X+Y) $ Rozwiązanie Gęstość łączna wektora losowego $ (X Y ) $ dana jest wzorem (zakładamy, ż współczynnik korelacji $ \rho = 0 $ $ f_{(X,Y)}(x,y) = \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)} $ dla $ (x,y)\in R^2 $ Odwzorowanie $ \phi: R^2 \rightarrow R^2 $ określone jest wzorem $ \phi(x,y) = (x-y, x+y) $ Jakobian tego odwzorowania $ J(x,y) = \left\| \begin{matrix} 1 & 1\\ -1 & 1\end{matrix}\right \| = 2 \neq 0 $ dla $ (x,y) \in R^2 $ Z układu równań $ \begin{cases}u = x -y \\ w = x + y \end{cases} $ znajdujemy $ \begin{cases} x = \frac{u+w}{2} \\ y = \frac{w-u}{2} \end{cases} $ dla $ (u,v)\in R^2 $ Korzystając ze wzoru $ f_(Z)(u,v) = f_{(U,W)}(u,w) = f_{(X,Y)}[x(u,w),y(u,w)] \frac{1}{\|J_{\phi}(x,y)\|} $ znajdujemy gęstość łączną wektora losowego $ Z = (X-Y, X+Y)$ $ f_{Z} = \frac{1}{4} e^{-\frac{1}{2}[\frac{(u+w)^2}{4}+ \frac{(w-u)^2}{4}]} $ Po uproszczeniu wykładnika potęgi $ f_{Z}(u,v) =\frac{1}{4} e^{-\frac{1}{2}\frac{u^2+w^2}{2}} $

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj