Analiza matematyczna, zadanie nr 6388
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| wiktoria123456 postów: 16 |  2020-06-29 16:10:00DLa prostopadłościanu o zadanej objętości V tak dobrac wymiary, żeby jego pole powierzchni całkowitej było minimalne. |
| chiacynt postów: 749 | 2020-06-29 17:28:43 Objętość prostopadłościanu $ V = x\cdot y \cdot z \ \ (1)$ , gdzie $ x>0,\ \ y>0,\ \ z >0 $ są długościami krawędzi prostopadłościanu Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu $ P = 2(xy + xz + yz) \ \ (2) $ Z równania $ (1) $ wyznaczamy $ z = \frac{V}{xy} $ i wstawiamy do równania $ (2) $ $ P = 2\left (xy + x\frac{V}{xy} + y\frac{V}{xy}\right)$ $ P = 2\left (xy + \frac{V}{y} + \frac{V}{x}\right) $ Należy wyznaczyć minimum lokalne funkcji $ P $ $ \begin{cases} P'_{|x} = 2\left( y - \frac{V}{x^2}\right) =0 \\ P'_{|y} = 2\left( x - \frac{V}{y^2}\right) =0 \end{cases} $ Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy $ \begin{cases} y = \frac{V}{x^2} \\ x = \frac{V}{y^2} \end{cases} $ $ \begin{cases} x^{*} = \sqrt[3]{V} \\ y^{*} = \sqrt[3]{V} \end{cases} $ Sprawdzamy, czy w punkcie $ \left(\begin{matrix} x^{*}\\ y^{*} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \sqrt[3]{V}\\ \sqrt[3]{V} \end{matrix}\right) $ funkcja $ P $ ma minimum lokalne. W tym celu znajdujemy macierz drugiej różniczki tej funkcji $ P^{''}_{|xx} = 4\frac{V}{x^3}$ $ P^{''}_{|xy} = 2 = P^{''}_{|yx} $ $ P^{''}_{|xx} = 4\frac{V}{y^3}$ Macierz drugiej różniczki $ D^2(x,y) = \left[\begin{matrix} 4\frac{V}{x^3} & 2 \\ 2 & 4\frac{V}{y^3} \end{matrix} \right] $ Badamy określoność macierzy drugiej różniczki w punkcie $ \left(\begin{matrix} x^{*}\\ y^{*} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \sqrt[3]{V}\\ \sqrt[3]{V} \end{matrix}\right) $ $ D^2(x^{*},y^{*}) = D^2\left(\sqrt[3]{V}, \sqrt[3]{V}\right) = \left[ \begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right] $ Macierz drugiej różniczki jest w tym punkcie dodatnio określona bo wartości wyznaczników: $ |4|>0, \ \ \left| \begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right| = 12 >0 $ W punkcie $ \left(\begin{matrix} x^{*}\\ y^{*}\\ z^{*} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \sqrt[3]{V}\\ \sqrt[3]{V}\\ \sqrt[3]{V} \end{matrix}\right) $ występuje minimum lokalne funkcji $ P $ - wartość pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest minimalna i wynosi $ P^{*} = 2(\sqrt[3]{V}\sqrt[3]{V} + \sqrt[3]{V}\sqrt[3]{V}+ \sqrt[3]{V}\sqrt[3]{V}) = 6\sqrt[3]{V^2} $ Wniosek Ze wszystkich prostopadłościanów o danej objętości $ V $ najmniejsze pole powierzchni całkowitej ma sześcian. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj