Analiza funkcjonalna, zadanie nr 640

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sympatia17 postów: 42	2012-11-11 22:37:25 Wykaż, że iloczyn $\bigcap A$ dowolnej liczby zbiorów domkniętych w $\left\langle X, d\right\rangle$ jest zbiorem domkniętym w $\left\langle X, d\right\rangle$ oraz że suma $\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}$ skończonej liczby zbiorów $A_{k}$ domkniętych w $\left\langle X, d\right\rangle$ jest zbiorem domkniętym w $\left\langle X, d\right\rangle$. Potrafię udowodnić dla zbiorów otwartych, ale dla zbiorów domkniętych nie mam pomysłu (nie chodzi mi o sposób rozwiązania z użyciem praw de Morgana) Proszę o pomoc. $\left\langle X, d\right\rangle$ - przestrzeń metryczna

tumor postów: 8070	2012-11-13 12:53:40 Jeśli wiesz, jak wyglądają prawa de Morgana, to po prostu je zastosuj do wyniku ze zbiorami otwartymi. :) Mamy prawa $X\backslash (\bigcup C_t)=\bigcap (X\backslash C_t)$ $X\backslash (\bigcap C_t)=\bigcup (X\backslash C_t)$ Masz dowiedzione, że suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest otwarta w przestrzeni metrycznej. Niech $A_i$ są zbiorami domkniętymi, wtedy istnieją zbiory otwarte $B_i$, że $A_i=X\backslash B_i$ $\bigcap A_i=\bigcap (X\backslash B_i)=X\backslash(\bigcup B_i)$ skoro $\bigcup B_i$ jest zbiorem otwartym, to $X\backslash(\bigcup B_i)$ jest zbiorem domkniętym. ------ Analogicznie. Masz dowiedzione, że przekrój skończenie wielu zbiorów otwartych jest otwarty. Niech $A_k$, $k=1,...,n$ będą domknięte, wtedy odpowiadające im $B_k=X\backslash A_k$ będą otwarte. $\bigcup_{k=1}^nA_k=\bigcup_{k=1}^n(X\backslash B_k)=X\backslash (\bigcap_{k=1}^n B_k)$ a skoro $\bigcap_{k=1}^n B_k$ jest otwarty, to $X\backslash (\bigcap_{k=1}^n B_k)$ jest domknięty. -------- Przy tym to rozumowanie jest słuszne w przestrzeniach topologicznych, a nie tylko w metrycznych. Dla przestrzeni metrycznych można by to samo zadanie rozwiązać łatwo bezpośrednio, mówiąc o kulach otwartych i takich tam. :P

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj