logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 652

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2012-11-17 09:48:48

Dla każdego z poniższych stwierdzeń ocenić, czy jest to prawda czy fałsz:
(a) Każdy endomorfizm grupy ($\mathbb{Z}$,+) jest automorfizmem.
(b) Grupa ($\mathbb{Q}^{*}$,$\cdot$) jest nieskończona.
(c) Grupa Hom($\mathbb{R}, \mathbb{C}$) jest skończona.
(d) Grupa Hom($\mathbb{Z}_{9}, \mathbb{Z}_{2}$) jest nietrywialna.

Zechce ktoś dobry pomóc:)


tumor
postów: 8070
2012-11-17 10:05:45

(a) fałsz.
Liczby całkowite z dodawaniem są izomorficzne z dowolną swoją podgrupą, np liczb parzystych. Zatem istnieją endomorfizmy, których obraz nie jest całym Z, a tylko podgrupą.

(b)prawda, istnieje nieskończenie wiele odwracalnych liczb wymiernych




tumor
postów: 8070
2012-11-17 10:31:51

(c) jeśli mówimy o homomorfizmach grup, to fałsz
Funkcje $f:R\rightarrow C$ dane wzorami
$f(x)=\alpha x $ dla $\alpha \in R$ są homomorfizmami grup, a jest ich nieskończenie wiele (i nie są to wszystkie homomorfizmy między tymi zbiorami).

Ostatnie zadanie wieczorem, muszę teraz wyjść


tumor
postów: 8070
2012-11-18 09:50:24

(d) niech $\phi$ będzie takim homomorfizmem, wtedy $\phi(0)=0$. Jeśli $\phi(1)=1$, to $\phi(2)=\phi(4)=\phi(6)=\phi(8)=0$, stąd $\phi(0)=\phi(8+1)=1$, sprzeczność. Czyli $\phi(1)=0=\phi(2)=...$
Zatem mamy tylko jeden homomorfizm, grupa jest trywialna.


mat12
postów: 221
2012-11-18 10:44:58

Bardzo dziękuję:)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj