Logika, zadanie nr 660

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
323232 postów: 22	2012-11-18 16:03:39 1) w zbiorze A = {-6,3,8,25} dana jest relacja R okreslona wzorem aRb$\iff$3\|(a-b) dla a,b$\in$A a) wykazac, ze R jest relacja rownowaznosci w zbiorze A. wyznaczyc zbior ilorazowy A/R b) okreslic w zbiorze A relacje rownowaznosci S taka, ze S$\neq$R i === A/S =3 te kreski maja byc nad A/S 2) Funkcja f: R--->$R^{2}$ jest okreslona wzorem f(x) = (x-1,3x+1) dla x$\in$R. Sprawdzic czy funkcja f jest surjekcja, injekcja. wyznaczyc funkcje f$\circ$f 3) w zbiorze A dana jest relacja R: a) A = {a,b,c,d}, R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<c,a>,<c,b>,<c,d>,<d,a>,<d,b>,<d,c>} b) A = {a,b,c,d,e,f,g}, R={<a,b>,<a,c>,<b,d>,<b,e>,<c,f>,<c,g>} c) A={a,b,c,d,e,f}, R={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<c,d>,<d,e>,<e,f>,<f,f>} d) A={a,b,c,d,e,}, R={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<c,d>,<c,e>} Narysowac tabelke i graf relacji R. Jakie wlasnosci ma relacja R ? 4) Niech P oznacza zbior wszystkich prostych na plaszczyznie euklidesowej E. W zbiorze P okreslamy relacje R przecinania sie prostych nastepujaco : aRb$\iff$ $\exists$ M $\in$ E (a$\cap$b = {M}) wiem, ze tu powinny byc kwadratowe nawiasy, ale potem wychodzi mi zuplenie co innego w podgladzie dla a,b$\in$P. Zbadac wlasnosci relacji R.

tumor postów: 8070	2012-11-18 17:07:53 1) a) relacja jest - zwrotna bo $3\|(a-a)$ - symetryczna, bo jeśli $3\|(a-b)$ to $3\|(b-a)$ - przechodnia, bo jeśli $3\|(a-b)$ i $3\|(b-c)$, to $a-b=3k$ $b-c=3l$ $a-c=a-b+b-c=3k+3l=3(k+l)$ czyli $3\|(a-c)$ zatem jest to relacja równoważności Zbiór ilorazowy to zbiór klas abstrakcji, a klasy abstrakcji są takie $[-6]=[3]=\{-6,3\}$ $[8]=\{8\}$ $[25]=\{25\}$ b) na przykład $aSb\iff 5\|(a-b)$ $[-6]=\{-6\}$ $[8]=[3]=\{3,8\}$ $[25]=\{25\}$ Relację można też zadać wprost klasami abstrakcji, w zadaniu chcą tylko, by były 3 klasy abstrakcji, więc na przykład: $[3]=\{3\}$ $[8]=\{8\}$ $[-6]=[25]=\{-6,25\}$ Dla takiej relacji wzór, choć zasadniczo zbędny, też się da znaleźć, możesz szukać :)

tumor postów: 8070	2012-11-18 17:20:42 2) $f$ jest iniekcją, bo jeśli $x\neq y$, to $x-1\neq y-1$, więc i $(x-1,3x+1)\neq (y-1,3y+1)$ $f$ nie jest suriekcją, bo na przykład $(1,1)$ nie jest wartością funkcji dla żadnego $x$ ($x$ musiałby być z jednej strony równy $2$, z drugiej strony równy $0$, co niemożliwe.) Składać się nie da tak bezpośrednio, bo się zbiory nie zgadzają, jak zrozumiesz wyrażenie (a,b)-1 albo 3(a,b)+1? Można coś pokombinować, ale wyjaśnij, o co chodzi.

tumor postów: 8070	2012-11-18 18:06:12 3. a) jest zwrotna, symetryczna i przechodnia (zatem jest relacją równoważności), ponadto jest spójna b) nie jest zwrotna, bo $<a,a>\notin R$ jest przeciwzwrotna, nie jest symetryczna, jest asymetryczna, bo nie zachodzi dla żadnego $x,y$ jednocześnie $<x,y>\in R$ i $<y,x>\in R$, nie jest przechodnia, bo $<a,b>,<b,d>\in R$, ale $<a,d>\notin R$, nie jest spójna c) nie jest zwrotna, nie jest przeciwzwrotna, bo $<a,a>\in R$, ale $<b,b>\notin R$, nie jest symetryczna, nie jest asymetryczna, jest antysymetryczna, bo jeśli $xRy$ i $yRx$, to $x=y$, dla $x,y\in A$, nie jest przechodnia, nie jest spójna d) nie jest zwrotna, jest przeciwzwrotna, nie jest symetryczna, jest asymetryczna, nie jest spójna, jest przechodnia, Nie rysuję tabelek i grafów, bo to na forum uciążliwe, a w zeszycie łatwe :P

tumor postów: 8070	2012-11-18 18:16:16 4. Proste są w relacji, gdy maja dokładnie jeden punkt wspólny. a) relacja nie jest zwrotna, jest przeciwzwrotna. Prosta a\in P ma zawsze więcej niż jeden punkt wspólny sama z sobą, $\neg\exists_{M\in E} (a\cap a=\{M\})$ b) relacja jest symetryczna, jeśli $\exists_{M\in E} (a\cap b=\{M\})$ to zarazem $\exists_{M\in E} (b\cap a=\{M\})$ c) relacja nie jest przechodnia. Jeśli $aRb$ (a istnieją takie proste), to z powyższego $bRa$, ale z tego nie wynika, że $aRa$ d) relacja nie jest spójna, niekoniecznie dla $a\neq b$ zachodzi $aRb$ lub $bRa$ (dla prostych równoległych rozłącznych nie zachodzi)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj