Logika, zadanie nr 667

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
323232 postów: 22	2012-11-19 11:19:53 1) zbadac czy dla dowolnych zbiorow X i Y P(X$\cup$Y)=P(X)$\cup$P(Y) wiem, ze nie zachodzi, ale jak to udowodnic 2)niech $\circ$ oznacza różnicę symetryczną. Wykazać, że a) A$\circ$B = B$\circ$A b) A$\circ$(B$\circ$C)=(A$\circ$B)$\circ$C c) A$\circ$A = $\emptyset$ d) A$\cap$(B$\circ$C) = (A$\cap$B)$\circ$(A$\cap$C) dla dowolnych zbiorów A, B i C wiem, że różnicę symetryczną oznacza się innym znakiem, ale cóż, niech tak już pozostanie Wiadomość była modyfikowana 2012-11-19 11:44:24 przez 323232

tumor postów: 8070	2012-11-19 16:54:04 1) żeby pokazać, że coś nie zachodzi, wystarczy kontrprzykład $X=\{1\}$ $Y=\{2\}$ $X\cup Y=\{1,2\}$ $P(X)=\{\emptyset, \{1\}\}$ $P(Y)=\{\emptyset, \{2\}\}$ $P(X)\cup P(Y)=\{\emptyset, \{1\} ,\{2\}\}$ $P(X\cup Y)=\{\emptyset, \{1\},\{2\},\{1,2\}\}$

tumor postów: 8070	2012-11-19 17:27:59 2) a) $A\circ B = (A \backslash B) \cup (B \backslash A)=(B \backslash A) \cup (A \backslash B)= B \circ A$ b) należy zauważyć, że $A \circ (B \circ C) = A\backslash (B \cup C) \cup B\backslash (A \cup C) \cup C\backslash (B \cup A) \cup (A\cap B \cap C)=(A \circ B) \circ C$ zbiór ten można sobie narysować w formie diagramu Venna. Jeśli nie wydaje ci się to dostatecznym wyjaśnieniem, to liczymy. Jeśli $x\in A \backslash(B\cup C)$ to $x\in A$ oraz $x \notin (B\circ C$), zatem $x \in A \circ (B \circ C)$, a także $x\in (A \circ B)$ i $x\notin C$, czyli $x\in (A \circ B) \circ C$ $x \in B\backslash (A \cup C)$ podobnie $x \in C\backslash (B \cup A)$ podobnie $x\in A\cap B \cap C$ podobnie A wreszcie trzy przypadki, gdy $x\in (A\cup B)\backslash C$, to $x\notin (A \circ B) \circ C$ oraz $x\notin A \circ (B \circ C)$ (a to dlatego trzy przypadki, że dla różnych kombinacji zbiorów ABC) Można rzecz pokazywać od razu, ale rozpisywania jest dużo i wydało mi się łatwiej machnąć to fragmentami. :) Zwracaj uwagę, gdzie wyrażenie jest symetryczne ze względu na pewne zmienne, wtedy nie trzeba udowadniać kilku przypadków, a jeden i skorzystać z symetrii.

tumor postów: 8070	2012-11-19 17:39:27 2) c) $A\circ A = (A \backslash A) \cup (A \backslash A)=\emptyset \cup \emptyset = \emptyset$ d) $A\cap (B\circ C)=A\cap ((B\backslash C) \cup (C\backslash B))= (A\cap (B\backslash C))\cup(A\cap (C\backslash B))=((A\cap B) \backslash (A\cap C))\cup ((A\cap C) \backslash (A\cap B))=(A\cap B)\circ (A\cap C)$ znak jakim oznaczasz różnicę symetryczną jest nieważny, jeśli wiesz, o co chodzi ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj