Geometria, zadanie nr 698

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
herga postów: 10	2012-11-25 21:30:55 Dane są dwa okręgi współśrodkowe o(0,r), o(0,R), r<R, oraz punkt N należący do większego okręgu. Poprowadzić przez N wspólną sieczną obu okręgów tak, aby trzy kolejne odcinki tej siecznej zawarte między okręgami były równe. Proszę o pomoc w konstrukcji i dyskusji.

irena postów: 2636	2012-11-26 10:22:02 Przede wszystkim- żeby można było wykonać tę konstrukcję musi być $r<R\le3r$ Narysuj te okręgi. Zaznacz punkt N. P- drugi punkt przecięcia z dużym okręgiem A, B- punkty przecięcia z małym okręgiem Mamy mieć: \|PB\|=\|AB\|=\|AN\|=x d- odległość siecznej od środka okręgów $\left\{\begin{matrix} d^2+(\frac{1}{2}x)^2=r^2 \\ d^2+(\frac{3}{2}x)^2=R^2 \end{matrix}\right.$ $r^2-\frac{1}{4}x^2=R^2-\frac{9}{4}x^2$ $R^2-r^2=2x^2$ $4x^2=2(R^2-r^2)$ $x=\frac{\sqrt{2(R^2-r^2)}}{2}=\sqrt{R^2-r^2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$ $t=\sqrt{R^2-r^2}$ to przyprostokątna w trójkącie prostokątnym, w którym R to przeciwprostokątna, r- druga przyprostokątna $t\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$ to połowa przekątnej kwadratu o boku t. Teraz- po skonstruowaniu odcinka x, wystarczy z punktu N wykreślić łuk o promieniu x. Znajdzie się w ten sposób szukany punkt A. Założenie początkowe (możliwość wykonania konstrukcji) można wyprowadzić z ostatecznego wyniku: - jeśli prosta sieczna przeszłaby przez punkt O, to wtedy x=R-r - jeśli prosta sieczna nie przejdzie przez punkt O, to z nierówności trójkąta OAN x+r>R, czyli x>R-r Stąd: $x\ge R-r$ $\sqrt{R^2-r^2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\ge R-r$ $\frac{1}{2}(R^2-r^2)\ge R^2-2Rr+r^2$ $R^2-r^2\ge2R^2-4rR+2r^2$ $R^2-4Rr+3r^2\le0$ $(R-r)(R-3r)\le0$ R>r $r<R\le3r$ Wiadomość była modyfikowana 2012-11-26 10:43:51 przez irena

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj