logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Logika, zadanie nr 705

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

535353
postów: 4		 2012-11-26 20:00:39

1) w rodzinie P(X) wszystkich podzbiorow zbioru X określamy relację następująco :
ARB$\iff$(A$\subset$B$\vee$B$\subset$A)
dla A,B$\in$P(X). Zbadać własności relacji R.

2) zbadać własności relacji R :
(a) R={<x,y>$\in$R:x$\le$|y|}
(b) R={<x,y>$\in$$R^{2}$:|x|<|y|
(c) R={<x,y>$\in$$R^{2}$:x<y$\vee$y<x}
(d) R={<x,y>$\in$$R^{2}$:E(x)$\le$E(y)}
(e) R={<x,y>$\in$$R^{2}$:|x+y|=1}
(f) R={<x,y>$\in$$N^{2}$:x|y}
g) R={<x,y>$\in$$Z^{2}$:2|x+y}
h) R={<x,y>$\in$$Z^{2}$:2|x-y}
i)<a,b>R<c,d>$\iff$a=c, R$\subset$$R^{2}$$\times$$R^{2}$
j)<a,b>R<c,d>$\iff$|a|=|c|, R$\subset$$R^{2}$$\times$$R^{2}$
k)<a,b>R<c,d>$\iff$a+c$\in$Z, R$\subset$$R^{2}$$\times$$R^{2}$
l)<a,b>R<c,d>$\iff$ac$\in$Z, R$\subset$$R^{2}$$\times$$R^{2}$
m)<a,b>R<c,d>$\iff$a+d=b+c, R$\subset$$N^{2}$$\times$$N^{2}$
n)<a,b>R<c,d>$\iff$ad=bc, R$\subset$$Z^{2}$$\times$$Z^{2}$


tumor
postów: 8070		 2012-11-26 21:01:22

Zad.1.
R jest zwrotna bo $A\subset A$,
jest symetryczna, bo jeśli $ARB$ to $A\subset B$ lub $B\subset A$, a wtedy $BRA$,
nie jest przechodnia (gdy $X$ ma co najmniej dwa elementy), bo $\{a\}R \{a,b\}$ oraz $\{a,b\}R \{b\}$, ale nieprawda, że $\{a\}R \{b\}$
Z tego też względu nie jest spójna, gdy X ma co najmniej dwa elementy.


tumor
postów: 8070		 2012-11-26 21:48:13

Zad.2.
a) zwrotna,
nie jest symetryczna, nie jest asymetryczna, nie jest antysymetryczna,
nie jest przechodnia
$3<|-5|$ oraz $-5<|1|$, ale to nie znaczy że $3\le |1|$
jest spójna

b) przeciwzwrotna
nie jest symetryczna, jest asymetryczna,
jest przechodnia, nie jest spójna

Wiadomość była modyfikowana 2012-11-26 22:26:07 przez tumor

323232
postów: 22		 2012-11-26 21:52:30

no dobrze, ale to trzeba udowodnić, że mają te własności, nie pisało w treści wiem, ale trzeba wykazać dlaczego takie własności mają te relacje


tumor
postów: 8070		 2012-11-26 22:34:13

To i pokazuję zawsze, gdy przewidzę czyjeś wątpliwości. Gdyby się dobrze zastanowić, to nie ja muszę udowodnić, ale ta osoba, która na studiach dostała takie zadanie domowe. Ta osoba może chce mieć pozytywną ocenę, choć absolutnie na nią nie zasłuży? Ale mimo tego zabawnego faktu pozwoli sobie mieć pretensje, że ktoś zrobi zadanie wymagając nieco wysiłku też od zleceniodawcy? :)

Zwrotność mówi, że dla każdego $x$ mamy $xRx$.
Oczywiście $x\le |x|$, więc (a) jest zwrotna, równie oczywiście nie jest prawdą, że $|x|<|x|$, dlatego (b) nie jest zwrotna, a skoro to nie jest prawdą dla wszystkich $x$, to nawet jest przeciwzwrotna.

Symetria mówi, że jeśli $xRy$ to $yRx$.
w przypadku (a) oczywiście $5\le |8|$ ale nieprawda, że $8\le |5|$, stąd brak symetrii. $-5 \le |5|$ i zarazem $5\le |-5|$, dlatego nie jest asymetryczna i nie jest antysymetryczna.
W przypadku (b) NIGDY nie zachodzi jednocześnie $|x|<|y|$ i $|y|<|x|$, to asymetria.

Przechodniość mamy, gdy $aRb$ i $bRc$ wynika $aRc$, w (a) pokazałem.
w (b) jeśli $|a|<|b|$ i $|b|<|c|$ to $|a|<|c|$, co nie jest filozofią.

O spójności mówimy, gdy dla każdej pary elementów $a,b$ zachodzi $aRb$ lub $bRa$ lub $a=b$.
(a) jeśli $a\neq b$, to $a<b$ (wtedy $a\le |b|$) lub $b<a$ (wtedy $b\le|a|$)
(b) nie zachodzi żaden z przypadków $|-1|<|1|$, $|1|<|-1|$, $-1=1$


tumor
postów: 8070		 2012-11-26 22:50:11

c) nie jest zwrotna, bo oczywiście nie jest x<x

Jest przeciwzwrotna, bo dla każdego x nie jest x<x

Jest symetryczna, bo jeśli xRy, to x<y lub y<x, a wtedy yRx
Zatem nie jest antysymetryczna ani nie jest asymetryczna.

Nie jest przechodnia, bo 1<2 czyli 1R2 oraz 2R1, ale nieprawda, że 1R1.

Jest spójna, bo jeśli $x\neq y$ to $xRy$


tumor
postów: 8070		 2012-11-26 23:27:27

f) N traktuję jak naturalne dodatnie.
x|x, więc zwrotna

4|8 ale nieprawda, że 8|4, więc nie jest symetryczna, jeśli
a|b oraz b|a to a=b, czyli jest słabo antysymetryczna

a|b i b|c, czyli b=ka, c=lb=lka, czyli a|c, jest przechodnia

Nie zachodzi 2|3 ani 3|2 ani 2=3, nie jest spójna

g) 2|x+x zwrotna

jeśli 2|x+y to 2|y+x, czyli symetryczna

Jeśli 2|x+y oraz 2|y+z, to 2|x+2y+z, więc 2|x+z, czyli jest przechodnia.
Jest relacją równoważności, ma dwie klasy abstrakcji, nie może być spójna.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj