Analiza matematyczna, zadanie nr 712

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pppsss postów: 23	2012-11-27 16:35:14 1) Wykazać, że suma, różnica, iloczyn oraz iloraz liczb wymiernych jest liczbą wymierną. 2) Czy suma, różnica, iloczyn i iloraz dwóch liczb liczb niewymiernych musi być liczbą niewymierną ? 3) Niech p,q będą dwiema różnymi liczbami pierwszymi. Pokazać, że liczby p$\cdot$q (te liczby są pod pierwiastkiem) oraz $\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$ są niewymierne. 4) pokazać, że jeżeli x jest liczbą niewymierną dodatnią to $\sqrt{x}$ też jest liczbą niewymierną.

tumor postów: 8070	2012-11-27 16:49:39 1) Mamy liczby wymierne $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ (gdzie $a,b,c,d$ całkowite, mianowniki różne od 0) Ich suma to $\frac{ad+bc}{bd}$ Ich różnica to $\frac{ad-bc}{bd}$ Ich iloczyn to $\frac{ac}{bd}$ O ile $c$ nie jest zerem, to iloraz $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$ W każdym przypadku liczniki i mianowniki wyników są całkowite, czyli mamy do czynienia z liczbami wymiernymi.

tumor postów: 8070	2012-11-27 16:52:09 2) $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ (suma może być wymierna) $\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$ (różnica może być wymierna) $\sqrt{2}*(-\sqrt{2})=-2$ (iloczyn może być wymierny) $\sqrt{2}:(-\sqrt{2})=-1$ (iloraz może być wymierny)

tumor postów: 8070	2012-11-27 16:56:38 4. $x>0$ Gdyby $\sqrt{x}$ był liczbą wymierną, czyli $\sqrt{x}=\frac{p}{q}$ dla pewnych liczb całkowitych $p,q$, to $x=(\sqrt{x})^2=\frac{p^2}{q^2} $ też byłby liczbą wymierną, a wiadomo, że nie jest.

tumor postów: 8070	2012-11-27 17:09:27 3. Myślę, że można poświęcić chwilę i wsadzić pod pierwiastek liczby, które mają pod nim być. Nowe doświadczenie, wiedza, te sprawy. Nie trzeba się bać. $\sqrt{pq}$ jest liczbą niewymierną. Gdyby był liczbą wymierną, to istniałyby całkowite i względnie pierwsze $a,b$, że $\sqrt{pq}=\frac{a}{b}$ $pq=\frac{a^2}{b^2}$ $pqb^2=a^2$ Na obie strony ostatniej równości popatrz jak na liczby naturalne. Każda liczba naturalna dodatnia ma jednoznaczne przedstawienie w postaci iloczynu naturalnych potęg liczb pierwszych, w przypadku liczby po prawej wykładniki są wszystkie parzyste, w przypadku liczby po lewej dwa wykładniki są nieparzyste, zatem te liczby mają różne rozkłady i nie mogą być równe. Gdyby liczba $ \sqrt{p}-\sqrt{q}$ była wymierna, to jej kwadrat też byłby wymierny. Natomiast kwadrat tej liczby wynosi $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2=p+q-2\sqrt{pq}$ Liczba ta jest niewymierna, bo $2\sqrt{pq}$ jest niewymierna, a różnica (i suma) liczby wymiernej i niewymiernej jest zawsze niewymierna. (Korzystamy z zadania 4 i z zadania 1)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj