Analiza matematyczna, zadanie nr 712
ostatnie wiadomo¶ci | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwi±zanie |
pppsss postów: 23 | ![]() 1) Wykazać, że suma, różnica, iloczyn oraz iloraz liczb wymiernych jest liczb± wymiern±. 2) Czy suma, różnica, iloczyn i iloraz dwóch liczb liczb niewymiernych musi być liczb± niewymiern± ? 3) Niech p,q będ± dwiema różnymi liczbami pierwszymi. Pokazać, że liczby p$\cdot$q (te liczby s± pod pierwiastkiem) oraz $\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$ s± niewymierne. 4) pokazać, że jeżeli x jest liczb± niewymiern± dodatni± to $\sqrt{x}$ też jest liczb± niewymiern±. |
tumor postów: 8070 | ![]() 1) Mamy liczby wymierne $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ (gdzie $a,b,c,d$ całkowite, mianowniki różne od 0) Ich suma to $\frac{ad+bc}{bd}$ Ich różnica to $\frac{ad-bc}{bd}$ Ich iloczyn to $\frac{ac}{bd}$ O ile $c$ nie jest zerem, to iloraz $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$ W każdym przypadku liczniki i mianowniki wyników s± całkowite, czyli mamy do czynienia z liczbami wymiernymi. |
tumor postów: 8070 | ![]() 2) $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ (suma może być wymierna) $\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$ (różnica może być wymierna) $\sqrt{2}*(-\sqrt{2})=-2$ (iloczyn może być wymierny) $\sqrt{2}:(-\sqrt{2})=-1$ (iloraz może być wymierny) |
tumor postów: 8070 | ![]() 4. $x>0$ Gdyby $\sqrt{x}$ był liczb± wymiern±, czyli $\sqrt{x}=\frac{p}{q}$ dla pewnych liczb całkowitych $p,q$, to $x=(\sqrt{x})^2=\frac{p^2}{q^2} $ też byłby liczb± wymiern±, a wiadomo, że nie jest. |
tumor postów: 8070 | ![]() 3. My¶lę, że można po¶więcić chwilę i wsadzić pod pierwiastek liczby, które maj± pod nim być. Nowe do¶wiadczenie, wiedza, te sprawy. Nie trzeba się bać. $\sqrt{pq}$ jest liczb± niewymiern±. Gdyby był liczb± wymiern±, to istniałyby całkowite i względnie pierwsze $a,b$, że $\sqrt{pq}=\frac{a}{b}$ $pq=\frac{a^2}{b^2}$ $pqb^2=a^2$ Na obie strony ostatniej równo¶ci popatrz jak na liczby naturalne. Każda liczba naturalna dodatnia ma jednoznaczne przedstawienie w postaci iloczynu naturalnych potęg liczb pierwszych, w przypadku liczby po prawej wykładniki s± wszystkie parzyste, w przypadku liczby po lewej dwa wykładniki s± nieparzyste, zatem te liczby maj± różne rozkłady i nie mog± być równe. Gdyby liczba $ \sqrt{p}-\sqrt{q}$ była wymierna, to jej kwadrat też byłby wymierny. Natomiast kwadrat tej liczby wynosi $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2=p+q-2\sqrt{pq}$ Liczba ta jest niewymierna, bo $2\sqrt{pq}$ jest niewymierna, a różnica (i suma) liczby wymiernej i niewymiernej jest zawsze niewymierna. (Korzystamy z zadania 4 i z zadania 1) |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj