Analiza matematyczna, zadanie nr 712
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
pppsss post贸w: 23 |  2012-11-27 16:35:141) Wykaza膰, 偶e suma, r贸偶nica, iloczyn oraz iloraz liczb wymiernych jest liczb膮 wymiern膮. 2) Czy suma, r贸偶nica, iloczyn i iloraz dw贸ch liczb liczb niewymiernych musi by膰 liczb膮 niewymiern膮 ? 3) Niech p,q b臋d膮 dwiema r贸偶nymi liczbami pierwszymi. Pokaza膰, 偶e liczby p$\cdot$q (te liczby s膮 pod pierwiastkiem) oraz $\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$ s膮 niewymierne. 4) pokaza膰, 偶e je偶eli x jest liczb膮 niewymiern膮 dodatni膮 to $\sqrt{x}$ te偶 jest liczb膮 niewymiern膮. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-11-27 16:49:39 1) Mamy liczby wymierne $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ (gdzie $a,b,c,d$ ca艂kowite, mianowniki r贸偶ne od 0) Ich suma to $\frac{ad+bc}{bd}$ Ich r贸偶nica to $\frac{ad-bc}{bd}$ Ich iloczyn to $\frac{ac}{bd}$ O ile $c$ nie jest zerem, to iloraz $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$ W ka偶dym przypadku liczniki i mianowniki wynik贸w s膮 ca艂kowite, czyli mamy do czynienia z liczbami wymiernymi. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-11-27 16:52:09 2) $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ (suma mo偶e by膰 wymierna) $\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$ (r贸偶nica mo偶e by膰 wymierna) $\sqrt{2}*(-\sqrt{2})=-2$ (iloczyn mo偶e by膰 wymierny) $\sqrt{2}:(-\sqrt{2})=-1$ (iloraz mo偶e by膰 wymierny) |
tumor post贸w: 8070 | 2012-11-27 16:56:38 4. $x>0$ Gdyby $\sqrt{x}$ by艂 liczb膮 wymiern膮, czyli $\sqrt{x}=\frac{p}{q}$ dla pewnych liczb ca艂kowitych $p,q$, to $x=(\sqrt{x})^2=\frac{p^2}{q^2} $ te偶 by艂by liczb膮 wymiern膮, a wiadomo, 偶e nie jest. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-11-27 17:09:27 3. My艣l臋, 偶e mo偶na po艣wi臋ci膰 chwil臋 i wsadzi膰 pod pierwiastek liczby, kt贸re maj膮 pod nim by膰. Nowe do艣wiadczenie, wiedza, te sprawy. Nie trzeba si臋 ba膰. $\sqrt{pq}$ jest liczb膮 niewymiern膮. Gdyby by艂 liczb膮 wymiern膮, to istnia艂yby ca艂kowite i wzgl臋dnie pierwsze $a,b$, 偶e $\sqrt{pq}=\frac{a}{b}$ $pq=\frac{a^2}{b^2}$ $pqb^2=a^2$ Na obie strony ostatniej r贸wno艣ci popatrz jak na liczby naturalne. Ka偶da liczba naturalna dodatnia ma jednoznaczne przedstawienie w postaci iloczynu naturalnych pot臋g liczb pierwszych, w przypadku liczby po prawej wyk艂adniki s膮 wszystkie parzyste, w przypadku liczby po lewej dwa wyk艂adniki s膮 nieparzyste, zatem te liczby maj膮 r贸偶ne rozk艂ady i nie mog膮 by膰 r贸wne. Gdyby liczba $ \sqrt{p}-\sqrt{q}$ by艂a wymierna, to jej kwadrat te偶 by艂by wymierny. Natomiast kwadrat tej liczby wynosi $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2=p+q-2\sqrt{pq}$ Liczba ta jest niewymierna, bo $2\sqrt{pq}$ jest niewymierna, a r贸偶nica (i suma) liczby wymiernej i niewymiernej jest zawsze niewymierna. (Korzystamy z zadania 4 i z zadania 1) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj