Analiza matematyczna, zadanie nr 714
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
kiciur post贸w: 5 |  2012-11-28 19:07:29Cze艣膰 Kolejne starcie z granicami, rozwi膮za艂em ju偶 kilkadziesi膮t przyk艂ad贸w i niestety zatrzyma艂em si臋 na jednym: $\lim_{x \to 1}\frac{x^{4}-3x+2}{x^{5}-4x+3}$ Nie mog臋 pozby膰 si臋 tych x na pocz膮tku z wysokim wyk艂adnikiem. Czy kto艣 m贸g艂by mi podpowiedzie膰 z czego m贸g艂bym skorzysta膰 przy rozwi膮zaniu (poza regu艂膮 de l\'Hospitala)? Pr贸bowa艂em kombinowa膰 z wzorami skr贸conego mno偶enia ale nie chce mi wyj艣膰. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-11-28 19:33:40 Mo偶esz dzieli膰 wielomiany. Skoro oba maj膮 pierwiastek w 1, to oba dziel膮 si臋 przez $x-1$ i mo偶na to dzielenie wykona膰 :) $\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x^3+x^2+x-2)}{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x-3)}= \lim_{x \to 1}\frac{x^3+x^2+x-2}{x^4+x^3+x^2+x-3}=1$ |
kiciur post贸w: 5 | 2012-11-28 20:50:17 Dzi臋ki wielkie, pozwoli艂o mi to rozwi膮za膰 kilka kolejnych przyk艂ad贸w. Mam jeszcze jeszcze jedno pytanie (chod藕 pewnie na nim si臋 nie sko艅czy). Mianowicie, jak pozby膰 si臋 pierwiastk贸w w granicy tego typu: $\lim_{x \to 1}\frac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-2}$ Pr贸bowa艂em kombinowa膰 z zamian膮 pierwiastka na x z wyk艂adnikiem, ale 偶e tak powiem nie wychodzi. Co m贸g艂bym tutaj zastosowa膰, ewentualnie z czego skorzysta膰? |
tumor post贸w: 8070 | 2012-11-28 21:19:06 Mo偶na zastosowa膰 podstawienie $y=\sqrt{x}$, $y^2=x$ (co b臋dzie s艂uszne dla $x$ bliskich $1$) Oczywi艣cie $x\to 1 \iff y \to 1$. Dostajemy granic臋 $\lim_{y \to 1}\frac{y^2-y}{y^2+y-2}= \lim_{y \to 1}\frac{y(y-1)}{(y-1)(y+2)}= \lim_{y \to 1}\frac{y}{y+2}=\frac{1}{3}$ ------- Mo偶emy usun膮膰 pierwiastek z mianownika $\lim_{x \to 1}\frac{x-\sqrt{x}}{x-2+\sqrt{x}}\frac{x-2-\sqrt{x}}{x-2-\sqrt{x}}= \lim_{x \to 1}\frac{x^2-x-2x\sqrt{x}+2\sqrt{x}}{x^2-5x+4}= \lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x-2\sqrt{x})}{(x-1)(x-4)}= \lim_{x \to 1}\frac{x-2\sqrt{x}}{x-4}=\frac{1}{3}$ ------- Mo偶na nawet zaszale膰 z de l\'Hospitalem. Nie ma jednej metody, licz jak chcesz, byle uzasadnia膰 kroki. ;) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj