Analiza funkcjonalna, zadanie nr 722

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sympatia17 postów: 42	2012-11-28 23:15:42 Czy funkcje f oraz g takie, że: $f: (R^2,\rho_1) \rightarrow (R^2,\beta)$ i $g: (R^2.\beta) \rightarrow (R^2,\rho_1)$ oraz $f(x)=x$ i $g(x)=x$ są ciągłe? $\rho_1$ - metryka maksimum $\beta(x,y)=\left\{\begin{matrix} \rho(x, 0) + \rho(y, 0), gdy x, y, 0 nie są współlniowe\\ \rho(x,y), gdy x, y, 0 są wspólnilniowe \end{matrix}\right.$, $(X, \rho)$ jest metryką euklidesową.

tumor postów: 8070	2013-04-03 12:16:04 Mamy sprawdzić, czy przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty, wystarczy sprawdzić, czy zbiór bazowy w sensie jednej metryki jest otwarty w sensie drugiej) a) sprawdzamy przeciwobraz poprzez $f$. Bierzemy kulę otwartą $K_\beta (S,\epsilon)$ o środku $S=(x_0,y_0)$ w sensie metryki $\beta$. Jeśli $S=(0,0)$ to dostajemy koło bez brzegu, a jeśli oddalamy się z $S$ od $(0,0)$ to nasz zbiór wygląda, jakby zawartość kuli "uciekała" po jednej prostej. :) To nam sugeruje, gdzie szukać kontrprzykładu. Weźmy np. $S=(1,1)$ oraz $\epsilon=\sqrt{2}$ Wtedy $K_\beta (S,\epsilon)$ jest odcinkiem (bez końców) prostej $y=x$ dla $x\in (0,2)$. Taki odcinek nie jest otwarty w metryce maksimum, weźmy bowiem $(x_1,y_1)$ należący do tego odcinka, dla każdego $\delta >0$ kula $K_{\rho_1}((x_1,y_1),\delta)$ "wystaje" poza $K_\beta (S,\epsilon)$, tzn $K_{\rho_1}((x_1,y_1),\delta)\backslash K_\beta (S,\epsilon) \neq \emptyset$ $f$ ciągła nie jest b) sprawdzamy przeciwobraz poprzez $g$ Bierzemy $S$ dowolny, $\epsilon>0$, mamy $D=K_{\rho_1}(S,\epsilon)$, kula ta jest kwadratem bez brzegu o bokach równoległych do osi układu. Dla $S_1=(x_1,y_1)\in D$, $S_1\neq (0,0)$ istnieje $\delta$ spełniająca $\rho(S_1,(0,0))>\delta>0$ taka, że $K_\rho (S_1,\delta)\subset D$, czyli $K_\beta (S_1,\delta)\subset D$. Jeśli $S_1=(0,0)\in D$ to także istnieje $\delta>0$ taka, że $K_\rho (S_1,\delta)\subset D$, czyli $K_\beta (S_1,\delta)\subset D$. g jest ciągła

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj