Inne, zadanie nr 756
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
rozkodowana postów: 1 | 2012-12-09 14:34:20 Udowodnij metodą indukcji mateatycznej, że ciąg an=(1−√5/2)^n + (1+√5/2)^n spełnia równanie a_n+2 = a_n+1 + a_n, gdzie a_1 =1 , a_2 = 3. Podstawiłam dane, zgadzają się . I zawsze w tym miejscu nie wiem co dalej. Proszę serdecznie o pomoc |
tumor postów: 8070 | 2015-09-06 18:06:32 Ta nieczytelna rzecz to $a_n=(1-\frac{\sqrt{5}}{2})^n+(1+\frac{\sqrt{5}}{2})^n$ i świadczy o nieznajomości kolejności wykonywania działań. Zmieńmy na $a_n=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$ Teraz dane początkowe się zgadzają. Wobec tego jeszcze sprawdzimy $a_3=4$ (jest ok). Zakładamy teraz, że wzór obowiązuje dla pewnego n, mamy sprawdzić, czy obowiązuje dla n+1. $a_{n+3}=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+3}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+3}=$ $(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+2}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}*(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+2}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}*(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+2} =$ $a_{n+2}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}*(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}*(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+2}=$ $a_{n+2}+\frac{1+\sqrt{5}}{2}*(\frac{\sqrt{5}-1}{2})*(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}*(\frac{1+\sqrt{5}}{2})*(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}=$ $a_{n+2}+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}=a_{n+2}+a_{n+1}$ No ale to nie jest indukcja, bo nigdzie nie korzystam z założenia. Można fajnie indukcje udawać, pokazując, że $a_{n+3}= (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^4 (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1} +(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^4 (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}=$ $((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 +2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})+1) (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}+ ((\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2+2(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+1)(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}=a_{n+1}+2a_n+a_{n-1}$, co na mocy założenia indukcyjnego jest równe $a_{n+2}+a_{n+1}$ |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj