Algebra, zadanie nr 777
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
heteroheroina postów: 22 | ![]() Zbadaj zbieżność szeregu a) z kryterium porównawczego: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(3n+1)}$ b)z kryterium D'Alamberta: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2n} }{(2n)!}$ c) z kryterium Cauchy'ego: $\sum_{n=1}^{\infty} ( \frac{n-1 }{3n+1})^n$ d) zbieżność bezwzględna i warunkowa: $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1 }{n(n+1)}$ |
tumor postów: 8070 | ![]() a) $\frac{1}{n(3n+1)}\le \frac{1}{n^2}$ $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ zbieżny, czyli $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(3n+1)}$ zbieżny |
tumor postów: 8070 | ![]() b) $\lim_{n \to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}= \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{2(n+1)}}{(2(n+1))!} \frac{(2n)!}{n^{2n}}= \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{2n}(n+1)^{2}}{(2n)!(2n+1)(2n+2)} \frac{(2n)!}{n^{2n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{2}}{(2n+1)(2n+2)} \frac{(n+1)^{2n}}{n^{2n}}= \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{2}}{(2n+1)(2n+2)} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{2}}{(2n+1)(2n+2)}\left( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{2}=\frac{e^2}{4}>1$ rozbieżny |
tumor postów: 8070 | ![]() c) $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}= \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{(\frac{n-1}{3n+1})^n}= \lim_{n \to \infty}\frac{n-1}{3n+1}=\frac{1}{3}<1$ zbieżny |
tumor postów: 8070 | ![]() d) $\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n^2} $ stąd z kryterium porównawczego $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ zbieżny Skoro $\frac{1}{n(n+1)}=|(-1)^n\frac{1}{n(n+1)}|$ to $ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n(n+1)}$ zbieżny bezwzględnie (czyli już warunkowej zbieżności dociekać nie trzeba) |
heteroheroina postów: 22 | ![]() pytanie do podpunktu B jak rozpisano (2(n+1))! aby wyszło (2n)! (2n+1)(2n+2) |
tumor postów: 8070 | ![]() $(2(n+1))!=(2n+2)!=1*2*3*...*(2n-1)*2n*(2n+1)*(2n+2)=(2n)!(2n+1)(2n+2)$ |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj