Analiza funkcjonalna, zadanie nr 792

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sympatia17 postów: 42	2012-12-16 15:50:28 Jeżeli ciąg $\left\{x_n\right\}$ elementów przestrzeni topologicznej Hausdorffa $<X, \tau>$ jest zbieżny w $<X, \tau>$, to ma tylko jedną granicę. Proszę o pomoc.

tumor postów: 8070	2012-12-16 18:21:53 Załóżmy, że ciąg zbieżny ma dwie granice (i dojdziemy do sprzeczności). Niech $x,y$ będą tymi granicami. Ciąg jest zbieżny do $x$, jeśli DLA KAŻDEGO otoczenia $U$ punktu $x$ istnieje $n_0$, że dla $n\ge n_0$ mamy $x_n\in U$. Analogicznie ciąg jest zbieżny do $y$, jeśli DLA KAŻDEGO otoczenia $V$ punktu $y$ istnieje $m_0$, że dla $m\ge m_0$ mamy $x_m\in V$. W przestrzeni Hausdorffa skoro $x\neq y$, to istnieją ich otoczenia rozłączne, nazwijmy je odpowiednio $U$ i $V$. Od pewnego miejsca (od elementu o indeksie $k=max(n_0,m_0)$ ), zgodnie z definicją granicy, wszystkie elementy ciągu należą jednocześnie do $U$ i do $V$, co niemożliwe, bo $U$ i $V$ rozłączne.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj