Algebra, zadanie nr 793
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| mat12 postów: 221 |  2012-12-16 17:09:12R-pierścień, ab oraz ba odwracalne czy z tego wynika że a,b odwracalne??? ma ktoś pomysł? z góry dzięki |
| tumor postów: 8070 | 2012-12-16 18:12:12 Ale pomysł tu trzeba mieć do bólu standardowy. :) Masz element $a$, będzie odwracalny, jeśli znajdziesz dla niego element odwrotny, czyli jeśli tak go przez coś przemnożysz, że dostaniesz $1$. Można tak: $a*(b*(ab)^{-1})=$ (oczywiście z polecenia wynika, że $(ab)^{-1}$ istnieje) $=(a*b)(ab)^{-1}=1$ $b*(a*(ba)^{-1})=(ba)(ba)^{-1}=1$ Zatem $a^{-1}=b(ab)^{-1}$ $b^{-1}=a(ba)^{-1}$ $a$ i $b$ są odwracalne. ------------- Przy tym może trzeba tu jeszcze jedną uwagę napisać. Pierścień wcale przemienny być nie musi. Tu pokazałem tak naprawdę tylko tyle, że dla $a$ istnieje $x$ taki, że $ax=1$. Czy także $xa=1?$ Nietrudno stosując BARDZO podobną metodę znaleźć element $y$, taki, że $ya=1$ (właściwie mówimy o elementach prawo- i lewostronnie odwrotnych). Pozostaje wykazać, że $x=y$. $x=1*x=ya*x=y*ax=y*1=y $ (Przy tym skorzystaliśmy tu z łączności działania, jak wiemy w pierścieniach mnożenie jest łączne). Dlatego w rozwiązaniu pozwoliłem sobie znaleźć jedynie elementy odwrotne jednostronnie i nie dowodzić ręcznie, że są też odwrotne przy mnożeniu w drugą stronę. :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj