logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Logika, zadanie nr 795

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

a1a1a1
postów: 28
2012-12-17 12:00:58

1) Funcja f: $R^{2}$$\rightarrow$$R^{2}$ jest określona wzorem :
a) f(x)=<x+1,2x+1> dla x$\in$R
b) f(x,y)=<x+y,xy> dla <x,y>$\in$$R^{2}$
c)f(x)=E(x)
d)f(x)= $\sqrt{x+1}$ dla x$\ge$-1 oraz 2x dla x < -1
e) f(x) = log|x| dla x$\neq$0 oraz 0 dla x=1
f)f(x) = $\frac{2x+1}{x-1}$ dla x$\neq$1 oraz 0 dla x=1
g)f(x,y)=<x+y,x-y>
dla x,y$\in$R.
w a)-f) spr czy jest ona injekcją, surjekcją, w g) spr czy jest ona bijekcją zbioru $R^{2}$ na zbiór $R^{2}$, podać wzór funkcji odwrotnej $f^{-1}$, wyznaczyć obraz prostej l o równaniu y=x+1 poprzez funkcję f.


tumor
postów: 8070
2012-12-17 13:45:41

W poleceniu napisane jest, że $f:R^2\to R^2$, ale w podpunktach i dziedzina i przeciwdziedzina są różne, dlatego ten fragment polecenia zignoruję, a suriektywność będę sprawdzał dla przeciwdziedziny $R$ lub $R^2$ zależnie od kontekstu. :)

a) $f(x)=<x+1,2x+1>$ dla $x\in R$

Jeśli $x_1 \neq x_2$, to oczywiście $x_1+1 \neq x_2+1$, czyli jest różnowartościowa.

Suriekcją ta funkcja nie jest, gdyż nie istnieje $x$ takie, że $f(x)=<1;9832489>$



Wiadomość była modyfikowana 2012-12-17 14:02:30 przez tumor

tumor
postów: 8070
2012-12-17 13:51:25

b) $f(x,y)=<x+y,xy>$ dla $<x,y> \in R^2$

Zauważmy, że $f(0,1)=f(1,0)$, czyli funkcja nie jest różnowartościowa.

Funkcja nie jest też suriekcją, bo nie istnieją $x,y$ dla których
$f(x,y)=<0;1>$
Bowiem $x+y=0$ oznacza, że $x=-y$, wtedy $xy=-x^2<1$


tumor
postów: 8070
2012-12-17 14:01:03

c) $f(x)=E(x)$
Tu nie jestem pewien, co to $E(x)$, proszę mi napisać.

d) $f(x)= \left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1} \mbox{ dla } x\ge -1 \\ 2x \mbox{ dla } x < -1 \end{matrix}\right. $


Zauważmy, że dla $x \ge -1$ mamy $f(x) \ge 0$, a dla $x<-1$ mamy $f(x)<-2$.
Nie istnieje zatem $x$ taki, że $f(x)=-1$, nie jest suriekcją.

Jest iniekcją, bo jeśli $x_1 > x_2$, to $f(x_1)>f(x_2)$ (może lepiej to widać w rozbiciu na przypadki).




tumor
postów: 8070
2012-12-17 14:08:36

e) $f(x) = log|x|$ dla $x\neq 0$ oraz $0$ dla $x=1$

Podejrzewam literówkę w poleceniu. Może

$f(x) = log|x|$ dla $x\neq 0$ oraz $0$ dla $x=0$ ?

Jednak taka zmiana jedynie wpływa na dziedzinę. W obu przypadkach
$f(-7)=f(7) $czyli nie jest różnowartościowa, natomiast
$g(x) = log x$, dla $x\in R_+$ jest suriekcją, więc także $f$ jest suriekcją (bo na zbiorze $R_+$ pokrywa się z funkcją $g$).

Suriektywność $g$:
Niech $y\in R$,
$ log x=y$
$x=10^y $


tumor
postów: 8070
2012-12-17 14:14:58

f) $f(x) =\frac{ 2x+1}{x-1}$ dla $x\neq 1$ oraz $0$ dla $x=1$

Funkcja homograficzna byłaby różnowartościowa, ale tu dodano jeden punkt, więc tę własność traci.

$f(\frac{-1}{2})=0=f(1)$

Funkcje homograficzne nie są suriekcjami na $R$ (bo trzeba wyrzucić jeden punkt).

Nie istnieje $x$ taki, że $f(x)=2$
Bowiem
$2=\frac{ 2x+1}{x-1}$
$2(x-1)=2x+1$
$-2=1$ sprzeczność.



tumor
postów: 8070
2012-12-17 14:23:59

g) $f(x,y)=<x+y,x-y>$

Niech $f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)$, to znaczy
$\left\{\begin{matrix} x_1+y_1=x_2+y_2\\ x_1-y_1=x_2-y_2 \end{matrix}\right.$
Dodając stronami mamy
$2x_1=2x_2$, czyli $x_1=x_2$, a odejmując stronami mamy
$2y_1=2y_2$, czyli $y_1=y_2$, zatem funkcja jest różnowartościowa.

Ustalmy teraz $a,b\in R$.
Układ
$x+y=a$
$x-y=b$
ma rozwiązanie (Twierdzenie Kroneckera-Capellego), zatem funkcja jest suriekcją.

Jest iniekcją i suriekcją, to jest bijekcją.
Funkcję odwrotną dostaniemy wyliczając x i y z naszego układu

$x+y=a$
$x-y=b$

Stąd $x=\frac{a+b}{2}$
$y=\frac{a-b}{2}$

$f^{-1}(x,y)=<\frac{x+y}{2},y=\frac{x-y}{2}>$


$f(x,x+1)=<2x+1, -1>$
obrazem jest prosta $y=-1$

Wiadomość była modyfikowana 2012-12-17 14:31:49 przez tumor

a1a1a1
postów: 28
2012-12-17 18:47:02

E(x) to cecha x


tumor
postów: 8070
2012-12-17 18:53:22

c) $f(x)=E(x)$

Nie jest różnowartościowa, bo $f(3,14159)=3=f(3,14158)$

Nie jest na R, bo przyjmuje tylko wartości całkowite.


a1a1a1
postów: 28
2012-12-17 19:40:41

nie było literówki

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj