Analiza funkcjonalna, zadanie nr 800

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sympatia17 postów: 42	2012-12-17 19:29:10 Wykazać, że jeśli $<X, \tau_X>, <Y, \tau_Y>, <Z, \tau_Z>$ są przestrzeniami topologicznymi i funkcja $f: X \rightarrow Y$ jest ciągła z X w Y oraz funkcja $g: Y \rightarrow Z$ jest ciągła z Y w Z, to funkcja złożona $g \circ f: X \rightarrow Z$ jest ciągła z X w Z. Proszę o pomoc.

tumor postów: 8070	2012-12-17 19:43:38 Nie wiem jak definiowaliście ciągłość w przestrzeniach topologicznych, ale NA PEWNO pojawił się wśród warunków równoważnych definicji taki: "Przeciwobraz zbioru otwartego jest zbiorem otwartym". Weźmy zatem zbiór otwarty $U\in \tau_Z$. Jego przeciwobraz poprzez funkcję $g$ jest otwarty, czyli $g^{-1}(U)\in \tau_Y$. Ale przeciwobraz tego zbioru poprzez funkcję $f$ jest otwarty, czyli $f^{-1}(g^{-1}(U)) \in \tau_X$ Natomiast $f^{-1}(g^{-1}(U))=(f\circ g)^{-1}(U)$, czyli przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego U poprzez $f\circ g$ jest otwarty, zatem funkcja ta jest ciągła.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj